杨辉三角

Posted 2020-10-28 12344321hh

杨辉三角：

前提：每行端点与结尾的数为1.

每个数等于它上方两数之和。

每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

第n行的数字有n项。

第n行数字和为2n-1。

第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。

public class TriangleArray
 {
    public static void main(String[] args)
    {
       final int NMAX = 10; 
       int[][] odds = new int[NMAX + 1][];                     //一个行数定了，列数未定的二维数组   11行      
       for (int n = 0; n <= NMAX; n++)                         //1行有1个数…11行11数
          odds[n] = new int[n + 1];   
       for (int n = 0; n < odds.length; n++)                   //列循环
          for (int k = 0; k < odds[n].length; k++)             //行循环
          {
             int lotteryOdds = 1;
             for (int i = 1; i <= k; i++)
                lotteryOdds = lotteryOdds * (n - i + 1) / i;
  
             odds[n][k] = lotteryOdds;
          }
       for (int[] row : odds)
       {
          for (int odd : row)
             System.out.printf("%4d", odd);
          System.out.println();
       }
    }
}