[BZOJ4869][六省联考2017]相逢是问候(线段树+扩展欧拉定理)

Posted 2020-10-28 HocRiser

4869: [Shoi2017]相逢是问候

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Description

Informatikverbindetdichundmich.

信息将你我连结。B君希望以维护一个长度为n的数组，这个数组的下标为从1到n的正整数。一共有m个操作，可以

分为两种：0 l r表示将第l个到第r个数（al,al+1,...,ar）中的每一个数ai替换为c^ai，即c的ai次方，其中c是

输入的一个常数，也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和，也就是输出：sigma(ai),l<=i<=rai因为

这个结果可能会很大，所以你只需要输出结果mod p的值即可。

Input

第一行有三个整数n,m,p,c，所有整数含义见问题描述。

接下来一行n个整数，表示a数组的初始值。

接下来m行，每行三个整数，其中第一个整数表示了操作的类型。

如果是0的话，表示这是一个修改操作，操作的参数为l,r。

如果是1的话，表示这是一个询问操作，操作的参数为l,r。

1 ≤ n ≤ 50000, 1 ≤ m ≤ 50000, 1 ≤ p ≤ 100000000, 0 < c <p, 0 ≤ ai < p

Output

对于每个询问操作，输出一行，包括一个整数表示答案mod p的值。

Sample Input

4 4 7 2
1 2 3 4
0 1 4
1 2 4
0 1 4
1 1 3

Sample Output

0
3

HINT

 鸣谢多名网友提供正确数据，已重测！

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考&&鸣谢xlk授权本OJ使用权

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扩展欧拉定理：$a^x \equiv a^{x\% \phi (p)+[x> \phi (p)] \phi (p)} (mod p)$，a和p可以不互质。

我们可以不断展开：$c^{c^x} \equiv c^{c^x\% \phi (p)+\phi(p) } \equiv c^{c^{x\% \phi(\phi(p))+\phi(\phi(p))}\%\phi(p)+\phi(p)}(mod p)$，以此类推。

可以证明在$O(\log n)$次内模数会变为1，也就是最后会变成$x\%1+1$所以这个直接用线段树维护就好，如果一个区间内的所有数都变成1了就不必处理。

注意最后要加一个$\phi(1)$：https://blog.csdn.net/llgyc/article/details/71076172

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1)|1
#define lson ls,L,mid
#define rson rs,mid+1,R
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m,op,l,r,a[N],cnt,c,dep[N<<2];
ll sum[N<<2],mod[N];

ll phi(ll x){
	ll res=x;
	for (int i=2; i*i<=x; i++)
		if (!(x%i)){
			res=res*(i-1)/i;
			while (!(x%i)) x/=i;
		}
	if (x>1) res=res*(x-1)/x;
	return res;
}

ll pow(ll a,ll b,ll p,bool &f){
	ll res=1; f=0;
	while (b){
		if (b & 1) f|=(res*a>=p),res=(res*a)%p;
		f|=(a*a>=p && b>1); a=(a*a)%p; b>>=1;
	}
	return res;
}

ll calc(ll x,ll p){
	ll res=x; bool f;
	if (res>=mod[p]) res=res%mod[p]+mod[p];
	while (p--){
		res=pow(c,res,mod[p],f);
		if (f) res+=mod[p];
	}
	return res%mod[0];
}

void build(int x,int L,int R){
	if (L==R) { dep[x]=0; sum[x]=a[L]; return; }
	int mid=(L+R)>>1;
	build(ls,L,mid); build(rs,mid+1,R);
	sum[x]=(sum[ls]+sum[rs])%mod[0];
}

void mdf(int x,int L,int R,int l,int r){
	if (dep[x]>=cnt) return;
	if (L==R){ sum[x]=calc(a[L],++dep[x]); return; }
	int mid=(L+R)>>1;
	if (r<=mid) mdf(lson,l,r);
	else if (l>mid) mdf(rson,l,r);
		else mdf(lson,l,mid),mdf(rson,mid+1,r);
	dep[x]=min(dep[ls],dep[rs]); sum[x]=(sum[ls]+sum[rs])%mod[0];
}

ll que(int x,int L,int R,int l,int r){
	if (L==l && r==R) return sum[x];
	int mid=(L+R)>>1;
	if (r<=mid) return que(lson,l,r);
	else if (l>mid) return que(rson,l,r);
		else return (que(lson,l,mid)+que(rson,mid+1,r))%mod[0];
}

int main(){
	freopen("verbinden.in","r",stdin);
	freopen("verbinden.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%lld%d",&n,&m,&mod[0],&c);
	while (mod[cnt]!=1) cnt++,mod[cnt]=phi(mod[cnt-1]);
	mod[++cnt]=1;
	rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
	build(1,1,n);
	while (m--){
		scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
		if (!op) mdf(1,1,n,l,r); else printf("%lld\n",que(1,1,n,l,r));
	}
	return 0;
}