Karatsuba乘法--实现大数相乘

Posted 2020-10-28 每天学习一点点

 

Karatsuba乘法

Karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于1962年得以发表。此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是n2，而Karatsuba算法的复杂度仅为3nlog3≈3n1.585（log3是以2为底的）。

算法介绍

步骤简介

Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10m + x0；

y = y1 * 10m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10m。

那么 xy = (x1 * 10m + x0)(y1 * 10m + y0)

=z2 * 102m + z1 * 10m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 + x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由Karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故z1 便可以由一次乘法及加减法得到。

实例展示

设x = 12345，y=6789，令m=3。那么有：

12345 = 12 * 1000 + 345；

6789 = 6 * 1000 + 789。

下面计算：

z2 = 12 * 6 = 72；

z0 = 345 * 789 = 272205；

z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。

然后我们按照移位公式（xy = z2 * 10^(2m) + z1 * 10^(m) + z0）可得：

xy = 72 * 10002 + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。

#-*- coding:utf-8 -*-
import math
n=long(input())
m=long(input())

l=0
t=0
if len(str(n))<len(str(m)):
    l = len(str(m))/2
    t = len(str(m)) - l
else:
    l = len(str(n))/2
    t = len(str(n)) - l
a=long(n/(math.pow(10,t)))
b=long(n%(math.pow(10,t)))
c=long(m/(math.pow(10,t)))
d=long(m%(math.pow(10,t)))

print a,b,c,d

result_1=long(a*c)
result_2=long(b*d)
result_3=long(a+b)*long(c+d)-long(result_1)-long(result_2)
print result_1,result_2,result_3
result=long(result_1*math.pow(10,2*t))+long(result_3*math.pow(10,t))+long(result_2)
print result
print m*n