中国剩余定理模板+理解 推导

Posted 2020-10-28 bleaves

此处省略引经据典。

(为了方便叙述，x=(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)表示  x≡a1(mod b1)  x≡a2(mod b2) x≡a3(mod b3) )

举个栗子。

栗子 求x=(2,3,2)(3,5,7)的最小正整数解。

考虑转化为三个子问题。

思考后可得 x=(2*(1,0,0)(3,5,7)+3*(0,1,0)(3,5,7)+2*(0,0,1)(3,5,7))(mod 3*5*7)

（显然，对于互质的u,v,可以得到x=(0,0)(u,v)=u*v。因此，(1,0,0)(3,5,7)=(1,0)(3,35)=3^-1(mod 5*7)）

 

推而广之，考虑n个两两互质的数 m₁,m₂,m₃,……m_n-1,m_n,设他们的积为M。

则，x=(a₁,a₂,a₃,……a_n)（m₁,m₂,m₃,……m_n）=(a₁*(1,0,……，0)+a₂*(0,1,0,……,0)+……a_n*(0……0,1))=(a₁*m₁^-1(modM/m₁)+……a_n*m_n^-1(modM/m_n))

而关于逆元，可以也只可以用扩展欧几里得来求（扩展欧几里得求逆元可以参考小蒟蒻的这篇博客）。

细节见代码。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int sz=1e5+5;
 4 int n,a[sz],m[sz],M,x,y,ans;
 5 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
 6     if(b==0){
 7         x=0;
 8         y=1;
 9         return ;
10     }
11     exgcd(b,a%b,y,x);
12     y-=x*(a/b);
13 }
14 int main(){
15     scanf("%d",&n);
16     M=1;
17     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
18     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&m[i]),M*=m[i];
19     for(int i=1;i<=n;i++){
20         exgcd(m[i],M/m[i],x,y);
21         ans+=a[i]*x;
22         ans=(ans%M+M)%M;
23     }
24     printf("%d",ans);
25     return 0;
26 }