划分整数

Posted 2020-10-28 机智的小白

蒜头君特别喜欢数学。今天，蒜头君突发奇想：如果想要把一个正整数 nn 分解成不多于 kk个正整数相加的形式，那么一共有多少种分解的方式呢？

蒜头君觉得这个问题实在是太难了，于是他想让你帮帮忙。

输入格式

共一行，包含两个整数 n(1≤n≤300) 和 k(1≤k≤300)，含义如题意所示。

输出格式

一个数字，代表所求的方案数。

样例输入

5 3

样例输出

5

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int n;
    static int k;
    static long[][] dp;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        k = sc.nextInt();
        dp = new long[301][301];
        
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            for(int j = 1; j <= k; j ++) {
                if(i == 1 || j == 1) {
                    dp[i][j] = 1;
                }
                else if(j > i) {
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                }
                else if(i == j) {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
                }
                else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i <= n; i ++) {
            for(int j = 0; j <= k; j ++) {
                if(j != k) {
                    System.out.print(dp[i][j] + " ");
                }
                else
                    System.out.print(dp[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

采用动态规划的方式。令 dp(n, k) 表示将 n 分解为不超过 k 个数之和的方案数。

分成四种情况讨论，

1. n = 1 或者 k = 1 的时候，只有一种方案。

2. n < k 的时候，实际上方案树就是 dp(n ,n)，因为 n 不可能分解超过 n 个数。

3. n > k 的时候，这时候，我们情况，如果一定拆成 k 个数，那么实际上每个数必须大于等于 1，我们把每个数都减去 1，那么对应的方案数是 dp(n - k, k)，如果拆成小于 k 个数，那么就是 dp(n, k - 1)，这时候方案数是 dp(n, k - 1) + dp(n - k, k)。

4. n = k 的时候，沿用 3 结论，这时候，如果一定要拆成 k 个数，实际上只有一种方案，那么总方案为 dp(n, k-1) + 1。