bzoj4870 [Shoi2017]组合数问题

Posted 2020-10-28 zbtrs

4870: [Shoi2017]组合数问题

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Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 ? 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

分析：一开始看上去根本不可做的一道题，换个思路想就能秒掉了......

　　　75%的数据都是可以通过线性预处理逆元，前缀逆元乘积和n!来计算的. 当n特别大的时候就gg了.

　　　n这么大，是让我们化简式子吗？ 应该是无法化简的......换个角度想：从组合意义的角度来考虑这个式子，实际上就是求从nk个物品中取个数为i的物品的方案数，满足条件：i % k == r.

　　　因为有限制条件，所以不能直接用数学方法来推式子. 那么剩下的求方案数的方法也就只有dp了.  状态和转移方程很好想：

　　　令f[i][j]表示前i个物品中，选出的物品数 % k == j的方案数. 那么f[i][j] = f[i-1][j] + f[i - 1][(j - 1 + k) % k]. （选或不选两种选择）. n这么大，状态是保存不下的. 因为i只与i-1有关，利用矩阵快速幂可以解决这一问题.  矩阵快速幂就是用来解决某一维特别大的转移明确的递推问题的.

　　　有时候复杂的式子不能仅仅只是站在数学的角度去看待它。通过其表现的具体意义去看待它，说不定就能得到一个好的解法.（尤其是组合式子！）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll n,p,k,r;

struct node
{
    ll a[60][60];
    void clear()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    inline node operator *(const node &b)
    {
        node c;
        c.clear();
        for (int i=0; i<k; i++)
            for (int j=0; j<k; j++)
                for(int s=0; s<k; s++)
                    (c.a[i][j]+=a[i][s] * b.a[s][j])%=p;
        return c;
    }
} ans,a,d;

void qpow(ll b)
{
    node anss = d;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            anss = anss * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    ans = ans * anss;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
    ans.a[0][0] = 1;
    for (ll i = 0; i < k; i++)
    {
        a.a[i][i]++;
        a.a[(i - 1 + k) % k][i]++;
        d.a[i][i]++;
    }
    qpow(n * k);
    printf("%lld\n",ans.a[0][r]);

    return 0;
}