排列问题

Posted 2020-10-28 Zhoier

这里讲的排列问题都可以用DFS的方式来进行搜索，似乎这种类型的题就是为DFS而生的，下面就是解题思路：

（1）定义状态：即如何描述问题求解过程中每一步的状况。为了精简程序，增加可读性，我们一般将参与子结点扩展运算的变量组合成当前状态列入值参，以便回溯时能恢复递归前的状态；

（2）边界条件：即在什么情况下程序不再递归下去。如果是求满足某个特定条件的一条最佳路径，则当前状态到达边界时并非一定意味着此时就是最佳目标状态。因此还须增加判别最优目标状态的条件；

（3）搜索范围：状态生成扩展时需要枚举的变量范围。就是如何设定for 语句中循环变量的初值和终值。

（4） 约束条件和最优性要求：当前扩展出一个子结点后应满足什么条件方可继续递归下去；如果是求满足某个特定条件的一条最佳路径，那么在扩展出某个子状态后是否继续递归搜索下去，不仅取决于子状态是否满足约束条件，而且还取决于子状态是否满足最优性要求。

（5）参与递归运算的参数：将参与递归运算的参数设为递归子程序的值参或局部变量。若这些参数的存储量大（例如数组）且初始值需由主程序传入，为避免内存溢出，则必须将其设为全局变量，且回溯前需恢复其递归前的值。

总结起来就是深度优先搜索解决问题的步骤为：确定问题的解空间--> 确定结点的扩展搜索规则--> 以DFS 方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

 

基于深度优先遍历，很容易写出一个深度优先搜索算法的框架，代码如下：
void dfs(int cur) //cur 表示当前状态
{
　　if(到达目标状态) //统计、输出结果等;
　　else
　　{
　　　　for(int i = 下界; i <= 上界; i++) // 枚举i 所有可能的路径
　　　　{
　　　　　　if(满足边界和约束条件)
　　　　　　{
　　　　　　　　……
　　　　　　　　设置标记
　　　　　　　　dfs(cur+1);
　　　　　　　　取消标记
　　　　　　}
　　　　　　状态树
　　　　　　3
　　　　}
　　}
}

先看几道题：

1.无重复数字的全排列
输入n（<=11），按从小到大输出数字1 到n 个的全部排列。
样例：
输入：
3
输出：
1:1 2 3
2:1 3 2
3:2 1 3
4:2 3 1
5:3 1 2
6:3 2 1

 

这种是最普通的全排列了，用STL函数或者手写递归的方法都可以，将所有元素之间连一条边，问题即转换为不重复的遍历所有点即可，

下面给出手写的方法：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,p[12],b[12],ct=0;
void print()
{
    ct++;
    cout<<ct<<":";
    for(int i=1; i<=n; i++) cout<<p[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
void dfs(int i)
{
    if(i==n+1)
    {
        print();
        return;
    }
    for(int j=1; j<=n; j++)
        if(b[j]==0)
        {
            p[i]=j;
            b[j]=1;
            dfs(i+1);
            b[j]=0;
        }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}

 

再来看一道题：

3.有重复元素的全排列
输入n（<=10）个小些字母（可能重复），按从小到大输出输出n 个字符的全部排列。
样例：
输入：
abaab
输出：
1:aaabb
2:aabab
3:aabba
4:abaab
5:ababa
6:abbaa
7:baaab
8:baaba
9:babaa
10:bbaaa

这里的问题在于两点：

1.将从1到n的数改成了手动输入字符；

2.有重复的元素不用管，按照正常的字母顺序排列（这个与无重复的有异曲同工之妙）。

 

由于字母有重复，如果我们按上述方法建图，会发现分别从1、3、4 结点出发，进行深度优先遍历查找所有路径时，会得到一样的遍历结果，当然从2、5 结点出发也存在同样的问题。

所以应该从一类点出发，而不应该从某一个点出发。

下面给出标程：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int n,b[12],ct=0,ar[200];
char p[12];
string s;
void print()
{
    ct++;
    cout<<ct<<":";
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout<<p[i];
    cout<<endl;
}
void dfs(int i) //搜索第i 个位置
{
    if(i==n+1) print();
    for(int j=97; j<=122; j++)
        if(ar[j]>0)
        {
            p[i]=j;
            ar[j]--;
            dfs(i+1);
            ar[j]++;
        }
}
int main()
{
    cin>>s;
    n=s.size();
    for(int i=0; i<n; i++) ar[s[i]]++; //ar 数组记录字符s[i]的个数
    dfs(1);
    return 0;
}