Stirling数反演与自然数幂和

Posted 2020-10-27 HocRiser

一.斯特林数反演
斯特林数反演相关内容：http://blog.csdn.net/OwenOwl/article/details/79442341

 

 

 

下降幂是指$x*(x-1)*(x-2)*...*(x-k+1)$，上升幂是指$x*(x+1)*(x+2)*...*(x+k-1)$

接着我们考虑斯特林数反演

可以发现将通常幂和下降幂分别作为f(x)和g(x)，就可以直接反演了。证明可以看这里。

 

二.离散微积分与第二类斯特林数实现自然数幂和

然后有一个概念叫作离散微积分（有限微积分），就是将积分的概念在整数范围内实现。

https://ruanx.pw/post/有限微积分.html

现在就可以做自然数幂和了：https://www.cnblogs.com/meowww/p/6410869.html 方法二

注意这里有个笔误

 

第一个等式后面没有$(-1)^{t-i}$，实际上不需要最后一步就可以做了（最后一步是用来证明斯特林数反演的）。

这样我们就可以在$O(k^2)$内求出答案了。

 

三.第一类斯特林数实现自然数幂和

来自https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/75042895

首先由定义可以得到，第一类斯特林数实际上是组合数展开后每项的系数。

然后引入组合数进行一波化简，就得到了递归式，递归下去即可。不过似乎各个方面都没有第二类做的简便。