插板法

Posted 2020-10-27 MekakuCityActor

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1583148539639670534&wfr=spider&for=pc（文章原出处）

三道题，诠释“插板法”精髓。（核心是可以将求n个数和为m的方案数转化为m+n个物体分成n堆，每堆至少一个的问题，从而使用插板法）

【1】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？

【2】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，有多少种不同的分法？

【3】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少2个，有多少种不同的分法？

【4】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，A至少一个，B至少2个，C可以没有，有多少种不同的分法？

======先思考再看答案哦=========

【答案在此】

插板法的应用主要在于，相同元素，非空分组。

通俗点讲就是一些相同的东西，进行分组，每组至少为1个的情况。

【1】、10个糖果9个空，分成三组插两块板，第一块板有9中插法，第二块板有8种插法，第一第二块板没有顺序要求，所以共有9×8÷（2×1）=36（种）分法。

【2】、与第一题不同，这里没有限制孩子获得的数量，意味着有些孩子可以分到0个。那么这时候就不能直接用插板法了，必须转化成每个孩子至少得到1个。怎么转化呢？

很简单，分这10个糖果之前就给每个小朋友1个糖果，这样就保证分的时候每个小朋友至少分一个了，就可以用插板法了，只不过这时的题就变成了“10+3=13个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？”.

13个糖果12个空，分成三组插两块板，第一块板有12中插法，第二块板有11种插法，第一第二块板没有顺序要求，所以共有12×11÷（2×1）=66（种）分法。

【3】.不能直接插板，将至少三个转化成至少一个，咋转化？先给每人1个，剩下的至少没人一个就搞定啦！题目变为“10-1×3=7个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？”

7个糖果6个空，分成三组插两块板，第一块板有6中插法，第二块板有5种插法，第一第二块板没有顺序要求，所以共有6×5÷（2×1）=15（种）分法。

【4】、此题综合了这几类题型，还是转化：A满足不用管；B至少2个，需要先分掉1个；C可以不分，那就借一个给他。 10-1+1=10，题目变成第一小题了，答案还是36.

【练一题】一个三位数，各位数字均不为0，且数字和是9，请问这样的数有多少个？（可以为0又怎样？）