数字特征:方差

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数字特征:方差相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

【引入】

有一批灯泡,知其平均寿命是 $E(X)=1000$ (小时)。仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。

事实上,有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950~1050小时;

也有可能其中约有一半是高质量的,它们的寿命大约有1300小时,另一半却是质量很差的,其寿命大约只有700小时,

为要评定这批灯泡质量的好坏,还需进一步考察灯泡的寿命 $X$ 与其平均值 $E(X)=1000$ 的偏离程度。

若偏离程度较小,表示质量比较稳定。从这个意义上来说,我们认为质量较好。  

前面也曾提到在检验棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。

由此可见,研究随机变量与其构成的偏离程度是必要的。

那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?

容易看到 $E\{ |X-E(X)|\}$ 能度量随机变量与其均值 $E(X)$ 的偏离程度,

但由于上式带有绝对值,运算不方便,为运算方便起见,通常用量 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 来度量随机变量X与其均值 $E(X)$ 的偏离程度。

【定义】

设 $X$ 是一个随机变量,若 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 存在,则称 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 为 $X$ 的方差,记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$,

$$D(X)=Var(X)=E\{ [X-E(X)]^2\}\tag{2.1}$$

在应用上还引入量 $\sqrt{D(X)}$ ,记为 $\sigma (X)$ ,称为标准差或均方差。

 

按定义,随机变量 $X$ 的方差表达了 $X$ 的取值与其数学期望的偏离程度。

若 $D(X)$ 较小意味着 $X$ 的取值比较集中在 $E(X)$ 的附近,反之,若 $D(X)$ 较大则表示 $X$ 的取值较分散。

因此, $D(X)$ 是刻画 $X$  取值分散程度的一个量,它是衡量 $X$ 取值分散程度的一个尺度。

 

由定义知,方差实际上就是随机变量 $X$ 的函数 $g(X)=(X-E(X))^2$ 的数学期望。

于是对于离散型随机变量,按(1.3)式有

$$D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k\tag{2.2}$$

其中,$P\{ X=x_k\}=p_k,k=1,2,…$ 是 $X$ 的分布律

对于连续型随机变量,按(1.4)式有

$$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\tag{2.3}$$

其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度

 

随机变量 $X$ 的方差可按下列公式计算

$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{2.4}$$

证:

 

【例1】标准化变量

 

【例2】(离散)(0-1)分布

【例3】(离散)泊松分布

【例4】(连续)均匀分布

【例5】(连续)指数分布


 

方差的性质

1.设 $C$ 是常数,则 $D(C)=0$ 

证:

2.设 $X$ 是随机变量,$C$ 是常数,则有 $D(CX)=C^2D(X),\qquad D(X+C)=D(X)$

证:

3.设 $X,Y$ 是两个随机变量,则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{ (X-E(X)(Y-E(Y)))\}$

特别,若 $X,Y$ 相互独立,则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

证:

4. $D(X)=0$ 的充要条件是 $X$ 以概率1取常数 $E(X)$ ,即 $P\{ X=E(X)\} =1$

证:

【例6】(离散)二项分布

【例7】(连续)正态分布

【例8】

【定理】切比雪夫不等式

证:

 

以上是关于数字特征:方差的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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