关于乘法逆元的世界

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于乘法逆元的世界相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  • 引子

  经过几天的努力,终于将逆元这个大难题给攻克了……心情激动的一时无法平复。下面就简单介绍一下关于逆元的知识,来记录自己的成果,也希望能够帮助到别人。某些地方可能理解的不够深入,还请多多包涵。

  • 定义

  逆元,又称数论倒数,如果a*x≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1(a与p互质),则称a关于模p的乘法逆元为x。(来自维基百科)

  怎么说呢,逆元其实就是一个相当于倒数的东西,只不过是多模了一个p而已。要说它有什么用,那么请回忆一下倒数有什么用吧。没错,在上小学时,老师就教导过我们,除以一个数,就是乘它的倒数。其实,逆元也是充当这个“倒数”这个角色。还记得吗,在模运算中:

(a+b) % p == ( a%p + b%p )% p;

(a-b) % p  == (a%p - b%p + p) % p;(否则可能为负数)

(a×b) % P == (a%p) * (b%p) %p;

But

(a/b) % p != (a%p) / (b%p) % p  。!

所以呢,我们可以用到一个叫做逆元的东西:

(a / b) = ( a * inv(b))

so, (a / b) % p = (a%p) * (inv(b)%p) % p

这个式子可以配合lucas定理解决一系列问题。

其实逆元的用处还有很多,配合lucas定理只是其中一个。

由于他的意义和用处实在是太深奥了,作为一名蒟蒻,还不具备将它的全部用处解释出来的能力,对于用处就先写到这吧。

  • 求解?

逆元的求法有很多种,介于本人实力有限,着重将以下三种解法:

1、费马小定理(Fermat‘s little theorem)

(又称费小马定理)

定理如下:假如是质数,且gcd(a,p)=1,那么有 a(p-1)≡1(mod p)(来自Wikipedia)

为什么说可以用它求呢?

a(p-1) ≡ 1(mod p) ---->   a * a(p-2)≡1(mod p)

是不是和逆元的定义很像?

so,如果p是素数,那么a(p-2)就是a的逆元。

神奇吧!

关于a(p-2),我们可以用快速幂来求。

核心代码如下:

 1 long long fp(long long n,long long k,long long p)
 2 {
 3     long long s = k,ans = 1,t = n;
 4     while(s){
 5         if(s & 1)
 6             ans *= t%p;
 7         t *= t%p;
 8         s >>= 1;
 9     }
10     return ans % p;
11 }
12 long long inv(long long N,long long P)
13 {
14     return fp (N,P-2,P) % P;
15 }

 

第2种方法就是用拓展欧几里徳算法。

其描述如下:

对于a * x + b * y == gcd(a,b),若a,b互质,那么

ax + by == 1

将两边同时mod b得:

a * x ≡ 1 (mod b)

所以x是a关于b的逆元,亦可证明y是b关于a的逆元。

所以只要求出它的解来就行了

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 ll n,p;
 7 void Euc(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
 8 {
 9     if(!b){ x = 1; y = 0; }
10     else{ Euc(b,a%b,y,x); y -= (a/b)*x; }
11 }
12 ll inv(ll N,ll P)
13 {
14     ll X,Y;
15     Euc(N,P,X,Y);
16     X = (X%P + P) % P;
17     return X;
18 }
19 int main()
20 {
21     scanf("%lld%lld",&n,&p);
22     for( int i = 1; i <= n; i++)
23         printf("%lld\n",inv(i,p));
24     return 0;
25 }

至于拓欧的求法……

3、用递推来求:

有这麽一个等式:

inv(a) == (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明:

待续。。。

 

所以。用递推很好解决:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int MAXN = 3000001;
 6 LL n,p;
 7 LL inv[MAXN];
 8 void Inv()
 9 {
10     inv[1] = 1;
11     for( int i = 2; i <= n; i++)
12         inv[i] = (p - p/i) * (inv[p%i]%p) % p;
13 }
14 int main()
15 {
16     scanf("%lld%lld",&n,&p);
17     Inv();
18     for( int i = 1; i <= n; i++)
19         printf("%lld\n",inv[i]);
20     return 0;
21 }

 

最后,不得不感叹一句:探索知识的道路真是千辛万苦啊……

 

——————————————————————————————— continue ————————————————————————————————————

 

以上是关于关于乘法逆元的世界的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

乘法逆元简单说说乘法逆元的求法

求乘法逆元的几种姿势

乘法逆元的线性筛法

乘法逆元怎么计算

乘法逆元的求法(5种)

分数的乘法逆元和负数的取模运算