菜鸡滚回石家庄了233
Problem B: 求和
题解&反思：
好久没写反演了真刺激
大力推公式就好咯
\\[
\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{i}\\sum_{k=1}^{i}gcd(i,j,k)
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{d|i}d\\sum_{j=1}^{i}\\sum_{k=1}^{i}[gcd(i,j,k)==d]
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{d|i}d\\sum_{j=1}^{\\left \\lfloor \\frac{i}{d} \\right \\rfloor}\\sum_{k=1}^{\\left \\lfloor \\frac{i}{d} \\right \\rfloor}[gcd(\\frac{i}{d},j,k)==1]
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{d|i}d\\sum_{j=1}^{\\left \\lfloor \\frac{i}{d} \\right \\rfloor}\\sum_{k=1}^{\\left \\lfloor \\frac{i}{d} \\right \\rfloor}\\sum_{e|\\frac{i}{d},e|j,e|k}\\mu(e)
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{e=1}^{i}\\mu(e)\\sum_{d|i,d|\\frac{i}{d}}d\\sum_{e|j}\\sum_{e|k}
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{e=1}^{i}\\mu(e)\\sum_{d|i,ed|i}d\\left \\lfloor \\frac{i}{de} \\right \\rfloor^2
\\]
\\[
设
t=de
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{t|i}\\sum_{d|t}d\\mu(\\frac{t}{d})\\left \\lfloor \\frac{i}{t} \\right \\rfloor^2
\\]
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{t|i}\\varphi(t)\\left \\lfloor \\frac{i}{t} \\right \\rfloor^2
\\]
交换一下（不交换也可以，但是结果的求和项会反过来
\\[
=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{t|i}\\varphi(\\left \\lfloor \\frac{i}{t} \\right \\rfloor)t^2
\\]
\\[
=\\sum_{t=1}^{n}t^2\\sum_{t|i}\\varphi(\\left \\lfloor \\frac{i}{t} \\right \\rfloor)
\\]
\\[
=\\sum_{t=1}^{n}t^2\\sum_{i=1}^{\\left \\lfloor \\frac{n}{t} \\right \\rfloor}\\varphi(t)
\\]
……就这样，中间没有交换结果反过来了，还以为发现了什么惊天大秘密（像个智障