AtCoderARC092 D - Two Sequences

Posted 2020-10-27 passion27

【题意】给定n个数的数组A和数组B，求所有A[i]+B[j]的异或和(1<=i,j<=n)。n<=200000。

【算法】二分+模拟

【题解】将答案分成(A[i]+B[j]-A[i]^B[j])的异或和 以及 A[i]^B[j]的异或和，即单独考虑进位（后面部分很好算）。

二进制题目必须拆位，通过进位使第k位+1的数对必须满足 ( A[i] & ((1<<k)-1) ) + ( B[i] & ((1<<k)-1) ) >= (1<<k)。

首先预处理cx[k][i]=B[i] & ((1<<k)-1)，然后对所有cx[k]排序。（如果是累加预处理的话先全部处理出来再排序）

枚举数位k，然后枚举A[i] & ((1<<k)-1)，在cx[k-1]中二分出满足要求的数对个数%2后累加进答案。

最后异或和部分就很好算啦。

复杂度O(n*28*log n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)t=-1;
    do{s=s*10+c-‘0‘;}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
int ab(int x){return x>0?x:-x;}
//int MO(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
//void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
/*------------------------------------------------------------*/
const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=200010;

int n,A[maxn],B[maxn],cx[40][maxn],dx[maxn],ans=0;

int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=read();
    for(int k=0;k<28;k++){
        if(!k)for(int i=1;i<=n;i++)cx[k][i]=((1<<k)&B[i]);else
        for(int i=1;i<=n;i++)cx[k][i]=cx[k-1][i]^((1<<k)&B[i]);
    }
    for(int k=0;k<28;k++)sort(cx[k]+1,cx[k]+n+1);//
    for(int k=1;k<=28;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dx[i]^=(1<<(k-1))&A[i];
            int x=lower_bound(cx[k-1]+1,cx[k-1]+n+1,((1<<k)-dx[i]))-cx[k-1];
            ans^=(((n-x+1)%2)<<k);
        }
    }
    int a,b,c,d;
    for(int k=0;k<=28;k++){
        a=b=c=d=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)if((1<<k)&A[i])b++;else a++;
        for(int i=1;i<=n;i++)if((1<<k)&B[i])d++;else c++;
        ans^=(((1ll*a*d%2+1ll*b*c%2)%2)<<k);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

　　

n《=100000的俩序列，数字范围，问所有的个数字的异或和。

这种东西肯定是按位考虑嘛，从低位开始然后补上进位。比如说第一位俩串分别有个和个，个和个，然后这一位就是个，会进个给第二位。但这里没法解决连续进位的问题，因为连续进位必须去具体考察哪几个数字进了位，复杂度不对。

思维定势--考察某一位答案时从“模拟加法”“进位”的角度，无法从中跳出是不可能出解的。

那换个方法呗，可以看到某一位的答案是由不高于这一位的所有位决定的。假如现在在第位，把和的所有数字取出最低的位，然后可以发现，或时，这一位会产生一个1。这俩式子移下项，发现只要把排序就可以枚举然后二分答案了。

这个故事告诉我们，当发现自己陷入思维瓶颈的时候，一定要往后退一步。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
//#include<queue>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
 
int n;
#define maxn 200011
int a[maxn],b[maxn],na[maxn],nb[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=28;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++) na[j]=a[j]&((1<<(i+1))-1),nb[j]=b[j]&((1<<(i+1))-1);
        sort(nb+1,nb+1+n); int t1=1<<i,t2=2*t1,t3=3*t1,t4=4*t1;
        int now=0;
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            now^=(lower_bound(nb+1,nb+1+n,t2-na[j])-lower_bound(nb+1,nb+1+n,t1-na[j]))&1;
            now^=(lower_bound(nb+1,nb+1+n,t4-na[j])-lower_bound(nb+1,nb+1+n,t3-na[j]))&1;
        }
        ans|=now<<i;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}