CF662CBinary Table 按位处理

Posted 2020-10-27 CQzhangyu

【CF662C】Binary Table

题意：给你一个$n\times m$的01网格，你可以进行任意次操作，每次操作是将一行或一列的数都取反，问你最多可以得到多少个1？

$n\le 20,m\le 10^5$

题解：我也不知道叫啥了，说状压也不对，说fwt也不太对，就叫按位处理得了。

显然有$O(2^nm)$暴力，先枚举每行是否取反，然后枚举每列，如果0多就取反，否则不取。

但我们发现我们完全可以将本质相同的列一起处理，什么叫本质相同的列呢？假如我们对每行是否取反的状态为S，则所有$xor S$中1的个数相同的列我们都认为是相同的。那么现在问题就变成了对于所有S，$xor S$中1的个数为i的列的个数是多少。我们可以设f[S][i]表示这个状态，初始时f[T][0]++（T是某一列的状态）。然后我们枚举二进制的每一位是否取反，再从大到小枚举1的个数，进行转移即可。最后的答案就是$max\{\sum\limits_{i=0}^n f[S][i]\times max\{i,n-i\}\}$。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m,ans;
char s[21][100001];
int f[21][(1<<20)+1];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m),ans=1<<30;
	int i,j,k;
	for(i=0;i<n;i++)	scanf("%s",s[i]);
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		int tmp=0;
		for(j=0;j<n;j++)	if(s[j][i]==‘1‘)	tmp|=1<<j;
		f[0][tmp]++;
	}
	for(i=0;i<n;i++)	for(j=n;j;j--)	for(k=0;k<(1<<n);k++)	f[j][k]+=f[j-1][k^(1<<i)];
	for(k=0;k<(1<<n);k++)
	{
		int tmp=0;
		for(i=0;i<=n;i++)	tmp+=min(i,n-i)*f[i][k];
		ans=min(ans,tmp);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}