1119 机器人走方格 V2 （组合数学）

Posted 2020-10-27 皮皮虎

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

 

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3

思路: 我们从左上走到右下 一共要往下走n-1次 往右走 m-1次 一共走了 n+m-2次但是不同的地方可以在向下走（n-1）次 或者向右走（m-1）次 所以我们在这里有C（n+m-2,n-1）或者
C（n+m-2，m-1）种走法 这两种是相同的。而我们在运算时 对组合数取余 由于组合数存在除法， 而取余不能再商之后取余，所以这里我们需要将除法转换成乘法来做。

 （（ A!）/（B!）） % P等价于(A! * (B!)^-1)%P 而 B!^-1 成为B！的逆元由费马小定理可知 B!^-1 = B^(P-2)  然后B^P-2 可以由快速幂来求 

  PS:这里的P要求为质数

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const LL mod = 1e9+7;
 7 LL m,n;
 8 LL Pow(LL a,LL b)//快速幂  a的b次方 
 9 {
10     LL ans=1;
11     while(b)
12     {
13         if(b&1)
14             ans=ans*a%mod;
15         b>>=1;
16         a=a*a%mod;
17     }
18     return ans;
19 }
20 LL index(int x) //求阶乘取余  
21 {
22     LL ans = 1;
23     for(int i=1;i<=x;i++)
24         ans = ans*i%mod;
25     return ans;
26 }
27 LL C(int a,int b)//组合数 
28 {
29     LL ans = 1;
30     ans = ans%mod * index(a)%mod;
31     ans = ans%mod * Pow(index(a-b),mod-2)%mod;
32     ans = ans%mod * Pow(index(b),mod-2)%mod;
33     
34     return ans%mod;
35 }
36 int main
37 {
38     cin>>m>>n;
39     cout<<C(n+m-2,n-1)<<endl;
40     return 0;
41 }