1134 最长上升子序列 （序列型 DP）

Posted 2020-10-27 皮皮虎

思路: 由于一般的动态规划时间复杂度是O(n^2)（哈哈哈哈 第一次用的就是这个！）用在这里由于n最大为50000 所以会超时 到这里我们可以用一个数组来动态维护这个最长上升的子序列，将你要输入的子序列一个一个按升序存入数组 如果发现当前要存入的数字x比数组最后一个还要大 那么直接存入数组，否则就将数组中按升序第一个大于x的数 用x替换掉（这里的替换我们可以用二分搜索来进行） 由于二分搜索的时间复杂度是log(n) 所以总的时间复杂度为O(n log(n) )； 下面举个例子

　　例如 -6 4 -2 10 5 ，我们假设用p数组来存储这个序列 那么 p[0] = -6; 我们发现4 比-6大我们就直接将之存入 则 p[1] = 4，现在到 -2 我们用将数组总第一个大于-2的数用-2替换掉 则 p[1] = -2 ,现在p[]= ( -6,-2 ); 之后再用同样的方法 最后的结果是p[] = ( -6 , -2 , 5 ), 这里可以得知 （-6，-2，10） 的长度与前面的答案一致 但是因为5比10 小 所以如果后面还有数可以继续拓展的话 很明显 5 之后可以存的更多的数(  好像有点啰嗦！还是直接上代码吧) 

 1 /*
 2 //我们先来看一下第一次的超时代码 
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6  
 7 using namespace std;
 8 typedef long long LL;
 9 const LL maxn = 50005;
10 LL dp[maxn];
11 LL m[maxn];
12 LL n;
13 int main()
14 {
15     cin>>n;
16     for(int i=1;i<=n;i++)
17     {
18         cin>>m[i];
19         dp[i] = 1;
20     }
21     for(int i=2;i<=n;i++)
22         for(int j=i;j>=1;j--)
23             if(m[i]>m[j])
24                 dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
25     LL ans = 0;
26     for(int i=1;i<=n;i++)
27         ans = max(ans,dp[i]);
28     cout<<ans<<endl;
29     return 0;
30 }
31 
32 */
33 
34 //优化后的代码 
35 #include<iostream>
36 #include<algorithm>
37 #include<cstring>
38 
39 using namespace std;
40 const int maxn = 50005;
41 int p[maxn],a[maxn];
42 int n,len = 0;
43 int main()
44 {
45     cin>>n;
46     for(int i=0;i<n;i++)
47         cin>>a[i];
48     p[0] = a[0];
49     for(int i=1;i<n;i++)
50     {
51         if(a[i]>p[len])//当前数大于数组末尾的数 直接存入 
52             p[++len] = a[i];
53         else
54         {
55             int pos = upper_bound(p,p+len,a[i]) - p;
56             p[pos] = a[i];//将第一个大于当前数的目标用当前数替换掉 
57         }
58     }
59     cout<<len + 1<<endl;//由于len是从0开始 所以答案要加一 
60     return 0;
61 }