问题：输入具有n个整数的向量arr，输出向量的任意连续子向量和的最大值
特殊情况（1、当向量都为正数时，为整个向量
2、当向量都为负数时，为0，即空子串
）
1、O（n2）的算法 （循环对所有情况进行遍历）
1 #include <stdio.h>
2 #define max(a,b) ((a>b)?a:b)
3 #define max3(a,b,c) ((a>b)?((a>c)?a:c):((b>c)?b:c))
4
5 int find1(int arr[], int n){
6 int i,j,sum,maxsofar;
7 maxsofar = 0;
8
9 for(i=0; i<n; i++){
10 sum = 0;
11 for(j=i; j<n; j++){
12 sum += arr[j];
13 maxsofar = max(sum, maxsofar);
14 }
15 }
16 return maxsofar;
17 }
其中有个小细节就是 注意sum(i, j-1) 和 sum(i, j）的关系，不要每次在求和的时候从头（i的位置）开始，那样会使复杂度变为O(n3)
2、O(nlogn)算法
基于分治原理的算法：首先将n的原问题划分为大小基本相等的两个子问题，我们分别称为a和b子问题，可以递归找出a和b问题的最大子向量，称为maxa 和 maxb。
但他们两个之间的最大值不一定使我们求得n问题的最优解，还有一种可能是跨越a和b的边界，我们称之为c，c情况的最优解为maxc。
那么问题变成了如何求解maxc？
我们可以发现，maxc中在a的部分为a中包括a的右边界的最大值，maxc中在b的部分为b中包括b的左边界的最大值，因此可以在O(N)的时间内算出maxc
因此得到T(N) = 2T(N/2) + O(N)
推导得到T(N) = O(nlogn)
1 int find2(int arr[], int s_p, int e_p){
2 int m, sum, i, maxsofar, lmaxsofar, rmaxsofar;
3 maxsofar = 0;
4
5 if(s_p == e_p){
6 return maxsofar;
7 }
8 else if(s_p == e_p){
9 return max(arr[s_p],0);
10 }
11 else{
12 m = (s_p + e_p) / 2;
13
14 lmaxsofar = 0;
15 sum = 0;
16 for(i=m; i>=s_p; i--){
17 sum += arr[i];
18 lmaxsofar = max(sum, lmaxsofar);
19 }
20
21 rmaxsofar = 0;
22 sum = 0;
23 for(i=m+1; i<=e_p; i++){
24 sum += arr[i];
25 rmaxsofar = max(sum, rmaxsofar);
26 }
27
28 return max3(lmaxsofar+rmaxsofar,find2(arr, s_p, m), find2(arr, m+1, e_p));
29 }
30 }
3、O(n)算法
先上代码，代码非常简短，理解起来比较困难，但是执行效率非常高
1 int find3(int arr[], int n){ 2 int i,maxsofar,maxendinghere; 3 maxsofar = 0; 4 maxendinghere = 0; 5 6 for(i=0; i<n; i++){ 7 maxendinghere = max(maxendinghere + arr[i], 0); 8 maxsofar = max(maxsofar, maxendinghere); 9 } 10 11 return maxsofar; 12 }
假设我们已经解决了x[0,n-1]的问题，利用分治算法的原理：前i个元素中，最大总和子数组要么在前i-1个元素中，要么其结束位置在i处。
分析其结束为止在i处的情况，那么子向量中除去i处的元素组成的子向量一定是x[0,i-1]中结束位置为i-1的最大子向量。
看代码中的关键变量为maxendinghere：在循环语句的第一个赋值语句之前，maxendinghere是结束位置为i-1的最大子向量的和；赋值语句将其修改为结束位置为i的最大子向量的和。若加上x[i]后结果依然为正值，则结束位置在i的最大子向量值就为maxendinghere+x[i],如果为负值，则重置为0。