[离散时间信号处理学习笔记] 14. 多采样率信号处理

Posted 2020-10-27 TaigaComplex求职中

多采样率信号处理一般是指利用增采样、减采样、压缩器和扩展器等方式来提高信号处理系统效率的技术（These multirate techniques refer in general to utilizing upsampling, downsampling, compressors, and expanders in a variety of ways to increase the efficiency of signal-processing systems. ）本文章主要讨论多采样率技术中的两个研究成果：滤波与压缩器/扩展器的互换；多相分解。

 

压缩器/扩展器的时域与频域表示

尽管上一篇文章中已经讨论过这部分内容，不过由于这部分是理解本文所必须的关键知识点，这里将在时域与频域展开更详细的分析。

 

压缩器

假设压缩器的压缩率为$M$，那么压缩器在时域上的表示为

$x_d[n] = x[nM]$

$x[n]$的采样频率为$T$，那么$x_d[n]$的采样频率为$T_d = MT$，按照离散序列与连续信号在频域上的关系，有

$\\begin{align*}
X(e^{j\\omega}) &= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{T}-\\frac{2\\pi k}{T}\\right)\\right ]\\\\
X_d(e^{j\\omega}) &= \\frac{1}{MT}\\sum_{r=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2\\pi r}{MT}\\right)\\right ]
\\end{align*}$

压缩前的序列频谱$X(e^{j\\omega})$与压缩后的序列频谱$X_d(e^{j\\omega})$之间有如下关系

$\\begin{align*}
X_d(e^{j\\omega}) &= \\frac{1}{MT}\\sum_{r=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2\\pi r}{MT}\\right)\\right ] \\\\
& = \\frac{1}{MT}\\left\\{\\cdot\\cdot\\cdot+X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{-2\\pi}{MT} \\right ) \\right ] +X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{0}{MT}\\right)\\right ] + X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2\\pi}{MT} \\right ) \\right ]+\\cdot\\cdot\\cdot \\right \\}\\\\
& = \\frac{1}{MT}\\left\\{\\cdot\\cdot\\cdot+X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{0}{MT} \\right ) \\right ]+\\cdot\\cdot\\cdot +X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2(M-1)\\pi}{MT}\\right)\\right ]\\right.\\\\
&\\quad\\qquad\\qquad\\left.+ X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2M\\pi}{MT} \\right ) \\right ]+\\cdot\\cdot\\cdot+ X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2M\\pi}{MT} -\\frac{2(M-1)\\pi}{MT}\\right ) \\right ]+\\cdot\\cdot\\cdot \\right \\}\\\\
\\end{align*}$

$\\begin{align*}
\\qquad\\quad\\ &= \\frac{1}{MT}\\left\\{\\cdot\\cdot\\cdot+\\sum_{i=0}^{M-1}X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2i\\pi}{MT} \\right ) \\right ]+\\sum_{i=0}^{M-1}X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2i\\pi}{MT}-\\frac{2\\pi}{T} \\right ) \\right ]+\\cdot\\cdot\\cdot\\right\\}\\\\
&= \\frac{1}{MT}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty} \\sum_{i=0}^{M-1}X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega}{MT}-\\frac{2\\pi i}{MT}-\\frac{2\\pi k}{T} \\right ) \\right ] \\\\
&=\\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}\\left\\{\\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[j\\left(\\frac{\\omega-2\\pi i}{MT}-\\frac{2\\pi k}{T} \\right ) \\right ]\\right\\}\\\\
&=\\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M})
\\end{align*}$

如下图所示

 

扩展器

假设扩展器的扩展率为$L$，那么扩展器在时域上的表示为

$x_e[n] = \\left\\{\\begin{matrix}
x[n/L], &n=0,\\pm L,\\pm 2L,\\cdot\\cdot\\cdot \\\\
0, &else
\\end{matrix}\\right.$

扩展前的序列频谱$X(e^{j\\omega})$与扩展后的序列频谱$X_e(e^{j\\omega})$之间有如下关系

$\\begin{align*}
X_e(e^{j\\omega}) &= \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x_e[n]e^{-j\\omega n}\\\\
&=\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n/L]e^{-j\\omega n}\\quad n=0,\\pm L,\\pm 2L,\\cdot\\cdot\\cdot\\\\
&=\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}x[k]e^{-j\\omega kL}\\quad letting\\ n=kL\\\\
&=X(e^{j\\omega L})
\\end{align*}$

如下图所示

 

 

滤波与压缩器/扩展器的互换

滤波器与压缩器互换

如上一篇文章所描述的减采样就是一个滤波器与压缩器的级联系统。对于这种级联方式，以下两个系统是等价的

证明：

$\\begin{align*}
Y_{R}(e^{j\\omega})
&= \\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}X_b(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M}) \\quad compress\\ X_b(e^{j\\omega})\\ with\\ M\\\\
&= \\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M})H(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M \\cdot M})\\\\
&= \\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M})H(e^{j(\\omega-2\\pi i)})\\\\
&= H(e^{j\\omega})\\frac{1}{M}\\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\\omega-2\\pi i)/M})\\quad compress\\ X(e^{j\\omega})\\ with\\ M\\\\
&= H(e^{j\\omega})X_a(e^{j\\omega})\\\\
&= Y_L(e^{j\\omega})
\\end{align*}$

这个证明过程运用了前面一小节中的压缩器频谱运算，$Y_{R}(e^{j\\omega}) = Y_{L}(e^{j\\omega})$说明右边的系统跟左边的系统是完全等价的。这两个等价系统也很容易理解，观察下图

根据前面我们对扩展器的讨论，我们可以把$H(z^M)$理解为对$H(z)$做了因子为$M$的扩展。两个系统分别对应上图的第二第三行：

• 上图第二行先对$x[n]$进行因子为$M$的压缩得到$x_a[n]$，然后级联一个滤波器$H(z)$
• 上图第三行先用滤波器$H(z^M)$对$x[n]$进行滤波得到$x_b[n]$，然后对$x_b[n]$进行因子为$M$的压缩

 

滤波器与扩展器互换

如上一篇文章所描述的增采样就是一个滤波器与扩展器的级联系统。对于这种级联方式，以下两个系统是等价的

证明：

$\\begin{align*}
Y_{L}(e^{j\\omega})
&= X_a(e^{j\\omega L}) \\quad expand\\ X_a(e^{j\\omega})\\ with\\ L\\\\
&= X(e^{j\\omega L})H(e^{j\\omega L}) \\\\
&= X_b(e^{j\\omega})H(e^{j\\omega L})\\\\
&= Y_R(e^{j\\omega})
\\end{align*}$

这个证明过程运用了前面一小节中的扩展器频谱运算，$Y_{L}(e^{j\\omega}) = Y_{R}(e^{j\\omega})$说明右边的系统跟左边的系统是完全等价的。这两个等价系统也很容易理解，观察下图

同样，根据我们前面对扩展器的讨论，我们可以吧$H(z^L)$理解为对$H(z)$进行了因子为$L$的扩展。两个系统分别对应上图的第二第三行：

• 上图第二行先用滤波器$H(z)$对$x[n]$进行滤波得到$x_a[n]$，然后对$x_a[n]$进行因子为$L$的扩展
• 上图第三行先对$x[n]$进行因子为$L$的扩展得到$x_b[n]$，然后级联一个滤波器$H(z^L)$

 

多级抽取和内插

当抽取或内插率较大时，即$M$或者$L$会非常大，这种情况下对$M$或者$L$进行分解，如$M = M_1M_2$，把单级抽取转换为多级抽取将会使得系统更为高效，具体原因以后（书中第七章）讨论。如下是两级抽取器：

按照上面的步骤反过来，则能把一个一级抽取转换为二级抽取，该一级抽取的的滤波器的系统函数按照如下方式进行分解：

$H(z) = H_1(z)H_2(z^{M_1})$

原滤波器的脉冲响应则为分解出来的两个滤波器的脉冲响应的卷积，如下：

$\\displaystyle{h[n] = h_1[n]* \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}h_2[k]\\delta[n-kM_1]}$

按照这种方式能把一级抽取器扩展到多级抽取。同理，上述理论也能应用到内插处理中。

 

 

多相分解

对一个序列进行多相分解，就是把该序列表示成M组子序列的叠加。如下图：

为了得到这M组子序列，可以采用以下的分解方法：

步骤解析如下

• 首先是对$h[n]$进行分解能得到$\\color{red}{e_k[n]}$：
  • 在z变换中，频域上的$H(z)\\cdot z^k$就相当于时域上$h[n] \\delta[n+k]$，即进行相位为$k$的移动，得到$h[n+k] $
  • 对$h[n+k]$进行因子为$M$的压缩，得到$e_k[n]$
• 接下来是复原为原来的$h[n]$：
  • 对$e_k[n]$进行因子为$M$的扩展，得到$h_k[n]$
  • 分别对$M$个$h_k[n]$进行相应的移位，然后就能合并得到$h[n]$

下面是一个$M=4,k=3$的例子

该过程在频域上表示为：

$\\displaystyle{ H(z)=\\sum_{k=0}^{M-1}E_k(z^M)z^{-k} }$

即系统函数$H(z)$可以被分解成多个经过延迟的滤波器之和，因此就可以把该系统表示成如下并联结构：

 

 

抽取/内插滤波器的多相实现

多相分解能降低抽取以及内插实现的计算量。直观地解释就是在抽取的时候，实际上所需要的序列数量只有原序列数量的$\\frac{1}{M}$；在内插的时候，对$x[n]$进行因子为$L$的扩展后，每$L$个样本才会有一个非零样本，而零样本是不需要计算的。详情请看下面的分析。

 

抽取滤波器

原抽取滤波器有如下形式

把抽取滤波器多相分解成如下图左边的形式，然后滤波器与压缩器进行互换就能得到右图的形式。

假设输入序列$x[n]$的采样率为一个单位时间，即一个单位时间采集一个样本。假设滤波器$h[n]$为有限长度滤波器（FIR），长度为N个点，那么原抽取滤波器在每个单位时间需要进行$N$次乘法以及$N-1$次加法；在采用多相分解实现后，对每个分量来说，每$M$个单位时间才采集一次，即每一个时间单位采集$\\frac{1}{M}$次，并且滤波器变为$e_k[n]$，这些滤波器的长度为$\\frac{N}{M}$，因此对于每一个分量来说，每个单位时间的运算量为$\\frac{1}{M}\\frac{N}{M}$次乘法、$\\frac{1}{M}\\left(\\frac{N}{M}-1\\right)$次加法。由于共有$M$个分量，因此整个系统在每个单位时间的运算量为乘法$\\frac{N}{M}$次、加法$\\left(\\frac{N}{M}-1\\right)+(M-1)$次。

 

内插滤波器

原内插滤波器有如下形式：

把内插滤波器多相分解为如下图左边的形式，然后滤波器与扩展器进行互换就能得到右图的形式。

假设输入序列$x[n]$的采样率为一个单位时间，即一个单位时间采集一个样本。假设滤波器$h[n]$为有限长度滤波器（FIR），长度为N个点，那么在对$x[n]$进行因子为$L$的增采样后，内插滤波器在每个单位时间需要进行$NL$次乘法以及$L(N-1)$次加法；在采用多相分解实现后，对每个分量来说，每一个单位时间采集一次，并且滤波器变为$e_k[n]$，这些滤波器的长度为$\\frac{N}{L}$，因此对于每一个分量来说，每个单位时间的运算量为$\\frac{N}{L}$次乘法、$\\left(\\frac{N}{L}-1\\right)$次加法。由于共有$L$个分量，因此整个系统在每个单位时间的运算量为乘法$N$次、加法$N-L+(L-1)$次。

 

 

多采样滤波器组

这一小节主要描述了一个使用了多相抽取以及内插结构的系统。

理想双信道分解/合成系统

如下图所示为一个语音编码中常用的对音频信号进行双信道分解（analysis）以及合成（synthesis）系统的结构框图。对结构中各部分的解释如下：

1. 系统分解部分目的是对音频进行高频以及低频的划分，两个信道的带宽分别为$|\\omega|<\\frac{\\pi}{2}$以及$\\frac{\\pi}{2}<|\\omega|<\\pi$，这部分的分解分别由低通滤波器$h_0[n]$以及高通滤波器$h_1[n]$完成。通常取$h_1[n] = e^{j\\pi n}h_0[n]$，这意味着只需要对低通滤波器频谱左移$\\pi$即可得到高通滤波器频谱，$H_1(e^{j\\omega}) = H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})$。
2. 由于对源信号并行进行了两组滤波，样本数增加了一倍。为了保持滤波后信号的总样本数不变，需要对滤波后的信号进行压缩，压缩倍率为2，也就是使得低频序列$v_0[n]$以及高频序列$v_1[n]$各占一半的样本数。对信号进行压缩意味着信号频谱的扩展，滤波后的信号频谱的带宽分别为$|\\omega|<\\frac{\\pi}{2}$以及$\\frac{\\pi}{2}<|\\omega|<\\pi$，而压缩后会使得两个信道的信号频谱都扩展到了$|\\omega|<\\pi$。
3. 然后可以对$v_0[n],v_1[n]$进行各种处理。
4. 系统合成部分的目的就是把两个信道的音频恢复成为全带宽的音频，对于每一个信道来说，此时的样本数只有原样本数的一半，因此需要先把样本进行2倍扩展。
5. 最后分别通过一个低通滤波器以及高通滤波器完成重构，再把得到的信号相加即可得到全带宽音频。

理想情况下会有如下频谱变化：

式子推导如下：

$\\begin{align*}
Y(e^{j\\omega})&=expand\\bigg\\{compress\\bigg\\{X(e^{j\\omega})H_0(e^{j\\omega})\\bigg\\}\\bigg\\}G_0(e^{j\\omega})+expand\\bigg\\{compress\\bigg\\{X(e^{j\\omega})H_1(e^{j\\omega})\\bigg\\}\\bigg\\}G_1(e^{j\\omega})\\\\
&=expand\\left\\{\\frac{1}{2}\\bigg[X(e^{j\\omega/2})H_0(e^{j\\omega/2})+X(e^{j(\\omega-\\pi)/2})H_0(e^{j(\\omega-\\pi)/2})\\bigg]\\right\\}G_0(e^{j\\omega})\\\\
&\\quad + expand\\ \\left\\{\\frac{1}{2}\\bigg[X(e^{j\\omega/2})H_1(e^{j\\omega/2})+X(e^{j(\\omega-\\pi)/2})H_1(e^{j(\\omega-\\pi)/2})\\bigg]\\right\\}G_1(e^{j\\omega})\\\\
&= \\frac{1}{2}\\bigg[X(e^{j\\omega})H_0(e^{j\\omega})+X(e^{j(\\omega-\\pi)})H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})\\bigg]G_0(e^{j\\omega})\\\\
&\\quad+\\frac{1}{2}\\bigg[X(e^{j\\omega})H_1(e^{j\\omega})+X(e^{j(\\omega-\\pi)})H_1(e^{j(\\omega-\\pi)})\\bigg]G_1(e^{j\\omega})\\\\
&=\\frac{1}{2}\\bigg[G_0(e^{j\\omega})H_0(e^{j\\omega})+G_1(e^{j\\omega})H_1(e^{j\\omega})\\bigg]X(e^{j\\omega})\\\\ &\\quad+\\frac{1}{2}\\bigg[G_0(e^{j\\omega})H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})+G_1(e^{j\\omega})H_1(e^{j(\\omega-\\pi)}) \\bigg]X(e^{j(\\omega-\\pi)})
\\end{align*}$

 

对于上述式子，如果是理想滤波器，分频的低通滤波器$H_0(e^{j\\omega})$与重构的低通滤波器$G_0(e^{j\\omega})$的取值范围是仅在$|\\omega|<\\frac{\\pi}{2}$处不为0，因此$G_0(e^{j\\omega})H_0^{e^{j(\\omega-\\pi)}}$的值为0；同理，理想滤波器的情况下，$G_1(e^{j\\omega})H_1(e^{j(\\omega-\\pi)})$的值为0，所以上述式子的第二项在理想滤波器的情况下应为0。另外，第二项中的频谱包含$\\omega-\\pi$相关项，而$\\omega-\\pi$的相关项是由于信号的压缩带来的，因此这一项表征了压缩操作中潜在的混叠失真，而上述式子的第一项表征的是式子在理想情况下的分解与重构。

 

一种能消除混叠的重构系统

现实中不可能完全实现上述理想滤波器，不过我们也可以通过选取满足下述条件的滤波器来消除混叠：

$G_0(e^{j\\omega})H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})+G_1(e^{j\\omega})H_1(e^{j(\\omega-\\pi)})=0$

该条件被称为混叠抵消条件，满足该式子的一组条件为

$\\color{red}{\\begin{align*}
h_1[n] = e^{j\\pi n}h_0[n]&\\Leftrightarrow H_1(e^{j\\omega}) = H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})\\\\
g_0[n] = 2h_0[n]&\\Leftrightarrow G_0(e^{j\\omega}) = 2H_0(e^{j\\omega})\\\\
g_1[n] = -2h_1[n]&\\Leftrightarrow G_1(e^{j\\omega}) = -2H_0(e^{j(\\omega-\\pi)})
\\end{align*}}$

把这些式子代入频谱函数得到

$Y(e^{j\\omega}) = \\Big[H_0^2(e^{j\\omega})-H_0^2(e^{j(\\omega-\\pi)})\\Big]X(e^{j\\omega})$

因此完美重构（可能带M个样本延迟）要求

$\\color{red}{H_0^2(e^{j\\omega})-H_0^2(e^{j(\\omega-\\pi)}) = e^{-j\\omega M}}$

也就是说，在设计分解/合成系统的时候，如果能找到一个符合上面式子的滤波器$H_0(e^{j\\omega})$，就能使用前面的式子来设计$H_1(e^{j\\omega}),G_0(e^{j\\omega}),G_1(e^{j\\omega})$，得到一个完美重构系统。不过这只是其中的一种分解/合成系统，这类系统的频谱并不能很好地对源信号进行分频，变换过程与前面描述的理想重构系统并不一样（书中稍有涉猎）。

对于这里所描述的这种系统，可以通过多相分解来大幅降低计算量。

因为系统的压缩以及扩展的倍率为2，因此把$h_0[n]$分成两个序列分量$e_{00}[n],e_{01}[n]$，把$g_0[n]$分成两个序列分量$f_{00}[n],f_{01}[n]$，

结合前面的条件，有

$\\begin{align*}
e_{00}[n] &=h_0[2n]\\\\
e_{01}[n] &=h_0[2n+1]\\\\
e_{10}[n] &=h_1[2n]=e^{j2\\pi n}h_0[2n]=e_{00}[n]\\\\
e_{11}[n] &=h_1[2n+1]=e^{j(2n+1)\\pi}h_0[2n+1]=-e_{01}[n]\\\\
f_{00}[n] &=g_0[2n]=2h_0[2n]=2e_{00}[n]\\\\
f_{01}[n] &=g_0[2n+1]=2h_0[2n+1]=2e_{01}[n]\\\\
f_{10}[n] &=g_1[2n]=-2h_1[2n]=-2e_{00}[n]=-f_{00}[n]\\\\
f_{11}[n] &=g_1[2n+1]=-2h_1[2n+1]=2e_{01}[n]=f_{01}[n]
\\end{align*}$

 

因此该系统可以优化为