蓝桥杯-地宫取宝

Posted 2020-10-27 ISGuXing

问题描述

　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

　　地宫的入口在左上角，出口在右下角。

　　小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

　　走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

　　当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

　　请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

输入格式

　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

　　接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

输出格式

　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

样例输入

2 2 2
1 2
2 1

样例输出

2

样例输入

2 3 2
1 2 3
2 1 5

样例输出

14

解题思路：

dp+记忆化dfs。这题目类似于数字三角形问题。dp 的状态转移方程为

这题目最难理解的地方可能就是递归的出口

1、如果当前dp[i][j][k][v]之前就被访问过，直接返回值。

2、如果到达出口，判断是否已经拥有了k件物品，如果有，则不取，方案为1；判断是否有k-1件物品且要取的物品价值是否比所有的都大，如果是，方案为1；否则返回0。

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define MOD 1000000007
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 ll dp[60][60][105][20];
 7 ll mp[60][60];
 8 ll n,m,k;
 9 ll dfs(ll i,ll j,ll num,ll max_value){
10     ll cnt=0;
11     if(dp[i][j][num][max_value]!=-1){
12         return dp[i][j][num][max_value]; //递归出口
13     }
14     if(i==n-1&&j==m-1){ //判断是否到达出口
15         if(num==k||(num==k-1&&mp[i][j]>max_value)){
16             dp[i][j][num][max_value]=1;
17             return dp[i][j][num][max_value];
18         }else{
19             dp[i][j][num][max_value]=0;
20             return dp[i][j][num][max_value];
21         }
22     }
23     if(i<n-1){
24         if(mp[i][j]>max_value){
25             cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num+1,mp[i][j]))%MOD;
26         }
27         cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num,max_value))%MOD;
28     }
29     if(j<m-1){
30         if(mp[i][j]>max_value){
31             cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num+1,mp[i][j]))%MOD;
32         }
33         cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num,max_value))%MOD;
34     }
35     dp[i][j][num][max_value]=cnt%MOD;
36     return dp[i][j][num][max_value];
37 }
38 int main(){
39     memset(dp,-1,sizeof(dp));
40     cin>>n>>m>>k;
41     for(ll i=0;i<n;i++){
42         for(ll j=0;j<m;j++){
43             scanf("%d",&mp[i][j]);
44             mp[i][j]++;  //防越界
45         }
46     }
47     cout<<dfs(0,0,0,0)<<endl;
48     return 0;
49 }