U21403倍数变换

Posted 2020-10-27 sdchr

https://www.luogu.org/problemnew/show/U21403

 

有标号为 $1, 2, ..., n$ 的小球，每个小球的标号 $x$ 可以替换为任意一个 $x$ 的倍数，请你找到一种变换，使得【标号 $x$ 的出现次数为奇数】的情况尽可能少。

$n \le 10 ^ 3$

 

相当于可以将小球划分到任意一个其倍数的集合内，使得大小为奇数的集合尽可能少，即

$$\sum_x (x \mod 2)$$

变形为

$$\sum_x (x - 2 \lfloor \frac{x}{2} \rfloor) = n - 2 \sum_x \lfloor \frac{x}{2} \rfloor$$

暴力的想法是对同一个集合内的点两两连边，成为一个团，跑一般图最大匹配，但是会 TLE 。

考虑优化建图，对每个集合，把集合中的点排成一个环，在两个相邻的点之间建立一个辅助点，辅助点之间连边成环，一个辅助点与相邻两个点连边。若这个块剩下 $x$ 个点，那么这个块的最大匹配为 $\lfloor \frac{x + k}{2} \rfloor = \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \frac{k}{2}$ 。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i, s, t) for (int i = (s), _ = (t); i <= _; i ++)
#define Fo(i, s, t) for (int i = (s), _ = (t); i < _; i ++)
#define pb push_back
const int N = 20000;
int n, tot; vector<int> li[N], gr[N];
int ans, mat[N], u[N];
void Init(int x, int y) { gr[x].pb(y), gr[y].pb(x); }
int DFS(int x) {
    u[x] = 1;
    for (int v : gr[x]) {
        int w = mat[v];
        if (! w) return mat[x] = v, mat[v] = x, 1;
        if (! u[w]) {
            mat[x] = v, mat[v] = x, mat[w] = 0;
            if (DFS(w)) return 1;
            mat[x] = 0, mat[v] = w, mat[w] = v;
        }
    }
    return 0;
}
int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        //freopen("403.in", "r", stdin);
    #endif
    cin >> n, tot = n;
    F(i, 1, n)
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            li[j].pb(i);
    F(cen, 1, n) {
        int s = li[cen].size(), c = s + (s & 1);
        Fo(i, 0, c)
            Init(tot + 1 + i, tot + 1 + (i + 1) % c);
        Fo(i, 0, s) {
            Init(li[cen][i], tot + 1 + i);
            Init(li[cen][i], tot + 1 + (i + 1) % c);
        }
        tot += c;
    }
    ans = - (tot - n) >> 1;
    F(i, 1, tot)
        if (! mat[i]) {
            memset(u, 0, sizeof u);
            ans += DFS(i);
        }
    cout << n - 2 * ans << endl;
    return 0;
}