图查找排序

Posted 2020-10-27 林木子

ch5图

 

1.图的定义和基本概念

定义：G=（V，E），V是图G中的顶点的有限非空集；E是图G中顶点之间的关系（边）集合。V一定非空。

基本概念：
有向图、无向图、简单图、多重图、完全图、子图、连通图、连通分量、强连通图、强连通分量、生成树、生成森林、度（无向图）、入出度（有向图）、边的权和网、路径、路径长度。

无向图：连通（顶点v到顶点w有路径存在），连通图（图中任意两个顶点都是连通的）。

有向图：强连通（顶点v到顶点w和顶点w到顶点v都有路径存在），强连通图（任何一对顶点都是强连通的）。

路径长度：路径上边的数目。

2.图的存储以及基本操作

 1）顺序存储结构：邻接矩阵、邻接表

邻接矩阵法：vi到vj有边相连，则A[i][j]为1，否则为0；适合稠密图。

邻接表法：适合稀疏图。

2）链式存储结构：十字链表、邻接多重表

十字链表：是有向图的一种链式存储结构。

 

邻接多重表：是无向图的一种链式存储结构。

3）图的基本操作

比如判断图G是否存在边<x,y>,列出图G中与结点x邻接的边，在图G中插入（删除）顶点x，从图中删除或者添加某边等等。

3.图的遍历

1）BFS（Breadth-First-Search）

是一种分层查找的过程，借助辅助队列。（图的BFS与二叉树的层序遍历完全一致）

基本思想：首先访问顶点v，接着访问v各个未被访问过的邻接顶点w1、w2、w3、、、、；然后再依次访问w1各个未被访问过的邻接顶点，再依次访问w2各个未被访问过的邻接顶点，、、、；再从这些访问过的顶点出发，再访问它们所有未被访问过的邻接顶点、、、、以此类推，一直到图中所有的顶点都被访问过为止。

无论是存储方式是邻接矩阵（顺序存储）还是邻接表（链式存储），BFS都需要借助一个辅助队列Q，n个顶点都需要入队一次，在最坏情况下，空间复杂度是O（V）。

当采用邻接表的存储方式时，每个顶点均需要搜索一次（或入队一次），故时间复杂度为O（V），在搜索任一顶点的邻接点时，每条边至少访问一次，故时间复杂度为O（E），故算法的总时间复杂度是O（V+E）。

当采用邻接矩阵的存储方式时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O（V），故算法总时间复杂度为O（V*V）。

BFS算法求解单源最短路径问题，广度优先生成树问题。

2）DFS（Depth-First-Search）

类似于树的先序遍历，用到递归，借助递归工作栈，空间复杂度为O（V）。遍历图的实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程，其耗费的时间取决于所采用的存储结构。

基本思想：首先访问顶点v，然后由v出发，访问与v邻接且未被访问的任一顶点w1，再访问与w1邻接且未被访问的任一顶点w2，。。。。重复以上过程。当不能再继续向下访问时，依次退回到最近被访问的顶点，若它还有邻接顶点未被访问过，则从该点继续上述搜索过程，直到图中所有顶点均被访问过为止。

当以邻接表表示时，查找所有顶点的邻接点所需时间为O（E），访问顶点所需时间为O（V），故总的时间复杂度为O（V+E）。

当以邻接矩阵表示时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O（V），故总的时间复杂度为O（V*V）。

 4.图的应用（最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径）

1）最小生成树

Prim算法、Kruskal算法

2）最短路径

Dijkstra算法、Floyd算法

3）拓扑排序

4）关键路径