[BZOJ2322][BeiJing2011]梦想封印
试题描述
渐渐地，Magic Land上的人们对那座岛屿上的各种现象有了深入的了解。
为了分析一种奇特的称为梦想封印（Fantasy Seal）的特技，需要引入如下的概念：
每一位魔法的使用者都有一个“魔法脉络”，它决定了可以使用的魔法的种类。
一般地，一个“魔法脉络”可以看作一个无向图，有 \(N\) 个结点及 \(M\) 条边，将结点编号为 \(1 \sim N\)，其中有一个结点是特殊的，称为核心（Kernel），记作 \(\underline 1\) 号结点。每一条边有一个固有（即生成之后再也不会发生变化的）权值，是一个不超过 \(U\) 的自然数。
每一次魔法驱动，可看作是由核心（Kernel）出发的一条有限长的道路（Walk），可以经过一条边多次，所驱动的魔法类型由以下方式给出：
将经过的每一条边的权值异或（xor）起来，得到 \(s\)。
如果 \(\underline s\) 是 \(\underline 0\)，则驱动失败，否则将驱动编号为 \(s\) 的魔法（每一个正整数编号对应了唯一一个魔法）。
需要注意的是，如果经过了一条边多次，则每一次都要计入 \(\underline s\) 中。
这样，魔法脉络决定了可使用魔法的类型，当然，由于魔法与其编号之间的关系尚未得到很好的认知，此时人们仅仅关注可使用魔法的种类数。
梦想封印可以看作是对“魔法脉络”的破坏：
该特技作用的结果是，“魔法脉络”中的一些边逐次地消失。
我们记总共消失了 \(Q\) 条边，按顺序依次为 \(Dis_1\)、\(Dis_2\)、……、\(Dis_Q\)。
给定了以上信息，你要计算的是梦想封印作用过程中的效果，这可以用 \(Q+1\) 个自然数来描述：
\(Ans_0\) 为初始时可以使用魔法的数量。
\(Ans_1\) 为 \(Dis_1\) 被破坏（即边被删去）后可以使用魔法的数量。
\(Ans_2\) 为 \(Dis_1\) 及 \(Dis_2\) 均被破坏后可使用魔法的数量。
……
\(Ans_Q\) 为 \(Dis_1\)、\(Dis_2\)、……、\(Dis_Q\)全部被破坏后可以使用魔法的数量。
输入
第一行包含三个正整数 \(N\)、\(M\)、\(Q\)。
接下来的 \(M\) 行，每行包含 \(3\) 个整数，\(A_i\)、\(B_i\)、\(W_i\)，表示一条权为 \(W_i\) 的与结点 \(A_i\)、\(B_i\) 关联的无向边，其中 \(W_i\) 是不超过 \(U\) 的自然数。
接下来 \(Q\) 行，每行一个整数：\(Dis_i\)。
输出
一共包 \(Q+1\) 行，依次为 \(Ans_0\)、\(Ans_1\)、……、\(Ans_Q\)。
输入示例1
3 3 2
1 2 1
2 3 2
3 1 4
1
3输出示例1
5
2
0输入示例2
5 7 7
1 2 1
1 3 1
2 4 2
2 5 2
4 5 4
5 3 9
4 3 1
7
6
5
4
3
2
1输出示例2
15
11
5
2
2
1
1
0数据规模及约定
\(30\%\) 的数据中 \(N \le 50\)，\(M \le 50\)，\(Q \le 50\)，\(U \le 100\)；
\(60\%\) 的数据中 \(N \le 300\)，\(M \le 300\)，\(Q \le 50\)，\(U \le 10^9\)；
\(80\%\) 的数据中 \(N \le 300\)，\(M \le 5000\)，\(Q \le 5000\)，\(U \le 10^{18}\)；
\(100\%\) 的数据中 \(N \le 5000\)，\(M \le 20000\)，\(Q \le 20000\)，\(U \le 10^{18}\)；
题解
一个合法的 \(s\) 是由与 \(1\) 处于同一个连通块中的随便多少个环与某一条从 \(1\) 出发的路径异或出来的。
对所有和 \(1\) 在一起的环维护线性基，用 dfs 树做，每一条返祖边都是一个环，路径就是 dfs 树上某个节点到根节点的路径。开个 set 维护“本质不同”的路径（即和当前线性基能组合出的最小异或值不同的链才算本质不同）。
这题是不断删边不好做，我们考虑倒过来处理变成加边问题。
- 如果加的边两端点都不和 \(1\) 在一起，就直接在邻接表里加上边；
- 如果有且仅有一个端点和 \(1\) 在一起，就相当与扩充连通块，直接从另一个端点开始暴力 dfs，扩大整个 dfs 树，同时把多的环加进线性基；
- 如果两个端点都和 \(1\) 在一起，就把新产生的环加入线性基即可。
注意每次更新线性基时更新一下 set。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cassert>
using namespace std;
#define rep(i, s, t) for(int i = (s), mi = (t); i <= mi; i++)
#define dwn(i, s, t) for(int i = (s), mi = (t); i >= mi; i--)
#define LL long long
LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 5010
#define maxm 40010
#define maxlog 61
#define pll pair <LL, LL>
#define x first
#define y second
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
int n, m, q, M, siz, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], del[maxm];
LL dist[maxm], A[maxlog], Ans[maxm];
bool tag[maxm];
set <LL> S;
struct Edge {
int a, b; LL c;
Edge() {}
Edge(int _1, int _2, LL _3): a(_1), b(_2), c(_3) {}
} es[maxm];
void AddEdge(int a, int b, LL c) {
to[++m] = b; dist[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
swap(a, b);
to[++m] = b; dist[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
}
LL f[maxn];
bool vis[maxn];
pll chg[maxn];
LL Qry(LL x) {
dwn(i, maxlog - 1, 0) x = min(x, x ^ A[i]);
return x;
}
void UpdateSet() {
int cc = 0;
for(set <LL> :: iterator it = S.begin(); it != S.end(); it++) chg[++cc] = mp(*it, Qry(*it));
S.clear();
rep(i, 1, cc) if(!S.count(chg[i].y)) S.insert(chg[i].y);
return ;
}
void Add(LL x) {
dwn(i, maxlog - 1, 0) if(x >> i & 1) {
if(A[i]) x ^= A[i];
else{ A[i] = x; siz++; break; }
}
return UpdateSet();
}
void AddSet(LL x) {
x = Qry(x);
if(!S.count(x)) S.insert(x);
return ;
}
void build(int u, int fa) {
AddSet(f[u]);
vis[u] = 1;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
if(vis[to[e]]) Add(f[u] ^ f[to[e]] ^ dist[e]);
else f[to[e]] = f[u] ^ dist[e], build(to[e], u);
}
return ;
}
int main() {
n = read(); M = read(); q = read();
rep(i, 1, M) {
int a = read(), b = read(); LL c = read();
es[i] = Edge(a, b, c);
}
rep(i, 1, q) tag[del[i] = read()] = 1;
rep(i, 1, M) if(!tag[i]) AddEdge(es[i].a, es[i].b, es[i].c);
build(1, 0);
Ans[q+1] = (LL)S.size() * (1ll << siz) - 1;
dwn(i, q, 1) {
int a = es[del[i]].a, b = es[del[i]].b; LL c = es[del[i]].c;
AddEdge(a, b, c);
if(vis[a] && vis[b]) Add(f[a] ^ f[b] ^ c);
else if(vis[a]) f[b] = f[a] ^ c, build(b, a);
else if(vis[b]) f[a] = f[b] ^ c, build(a, b);
Ans[i] = (LL)S.size() * (1ll << siz) - 1;
}
rep(i, 1, q + 1) printf("%lld\n", Ans[i]);
return 0;
}