欲求 \(\sum_{i=1}^n (i,n)\)。
显然 \((i,n) \mid n\)。记 \(d=(i,n)\)，枚举 \(d\)，有多少个 \(i \in [1,n]\) 使得 \((i,n)=d\) 呢？换句话说有多少个 \(i \in [1,\lfloor n/d \rfloor]\) 使得 \((i,\lfloor n/d \rfloor) = 1\) 呢？显然是 \(\varphi(\lfloor n/d \rfloor)\) 个。
答案就是 \(\sum_{d|n}d\cdot \varphi(n/d)\)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, T;
ll ans;
ll phi(ll x){
ll re=x;
for(ll i=2; i*i<=x; i++)
if(x%i==0){
re = re / i * (i - 1);
while(x%i==0) x /= i;
}
if(x>1) re = re / x * (x - 1);
return re;
}
int main(){
while(scanf("%d", &n)!=EOF){
ans = 0;
for(ll i=1; i*i<=n; i++)
if(n%i==0){
ans += (ll)i * phi(n/i);
if(i*i!=n) ans += (ll)(n/i) * phi(i);
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}