[NOIP提高&洛谷P1024]一元三次方程求解 题解（二分答案）

Posted 2020-10-27 COLIN·GAO

[NOIP提高&洛谷P1024]一元三次方程求解

Description

有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。
提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2，f(x1)*f(x2)<0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。

输入格式：一行，4个实数A，B，C，D。

输出格式：一行，三个实根，并精确到小数点后2位。

Solution

1.考虑valid函数的写法，因为无法简单的解一元三次方程，我们不妨把方程看做函数f（x），对于自变量x，返回其对应的f（x），即：

double valid(double x){
	double num=x*x*x*a+x*x*b+x*c+d;
	return num;
} 

2.考虑因为根与根之差的绝对值>=1，在同一个宽度为1的区间内不会存在两个根，所以可以枚举-100~100之间的每一个宽度为1的区间，对每个区间进行二分；

3.对于每一个区间[L,L+1)首先判断根是否在1其中，根据零点的存在性定理，当 valid（l）* valid（l+1）≤ 0时，零点才存在于这个区间；

4.如果存在，首先检验l是否为解，若不是,二分区间，直至左右端点差值满足精度要求为止；

5.注意：因为我们枚举的是区间[L,L+1)，所以100没有被检验过，最后记得检验100是否为根；

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int i,j,k;
double l,r,mid,a,b,c,d;

double valid(double x){
	double num=x*x*x*a+x*x*b+x*c+d;
	return num;
} 

int main(){
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
	for(i=-100;i<100;++i)
		if(valid(i)==0)printf("%.2lf ",(double)i);
		else if(valid(i)*valid(i+1)<0){
			l=i;r=l+1;
			while(r-l>=0.001){
				mid=(l+r)/2;
				if(valid(l)*valid(mid)<=0)r=mid;
				else l=mid;
			}
			printf("%.2lf ",l);
		}
        if(valid(100)==0)printf("100.00");
	printf("\\n");
	return 0;
}

二分答案的基础参考以前的随笔：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8543330.html