●BZOJ 2337 [HNOI2011]XOR和路径

Posted 2020-10-27 *ZJ

概率dp。

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2337
题解：

概率dp，
因为异或的每一位之间没有关系，我们就依次考虑每一位k。（即边权要么为1,要么为0）
令dp[i]表示从i出发到n点的边权异或和为1的概率。
然后转移:（令cnt[i]表示i的度）
$$dp[i]=\\sum_{i->j,边权为0}\\frac{dp[j]}{cnt[i]}+\\sum_{i->j,边权为1}\\frac{1-dp[j]}{cnt[i]}$$
$$dp[N]=0$$
然后可以列出这样N个式子，是一个循环dp，可以用高斯消元解出每个dp值。

所以这一位k期望的贡献就是(dp[1]*1)<<(k-1)

(正推不太好做，因为1-f[i]不仅包含了从1到i的异或值为0的概率，还包括了从1不到i的概率。)

（如果不太能理解上面那句话，可以看看我的这篇博客关于正反向进行期望DP的一点探究(有一丢丢长)）

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 105
#define MAXM 10005  
using namespace std;
const double eps=1e-8;
double ANS,a[MAXN][MAXN],dp[MAXN];
double *A[MAXN];
int N,M,Ant;
int cnt[MAXN];
struct Edge{
	int ent;
	int to[MAXM*2],val[MAXM*2],nxt[MAXM*2],head[MAXN];
	Edge():ent(2){}
	void Adde(int u,int v,int w){
		to[ent]=v; val[ent]=w; nxt[ent]=head[u]; head[u]=ent++;
	}
}E;
int dcmp(double x){
	if(fabs(x)<eps) return 0;
	else return x>0?1:-1;
}
void buildequation(int p){
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N+1;j++) a[i][j]=0;
		if(i==N){a[i][i]=1; continue;}
		a[i][i]=cnt[i];
		for(int j=E.head[i];j;j=E.nxt[j]){
			int v=E.to[j];
			if(E.val[j]&(1<<p)) a[i][v]+=1,a[i][N+1]+=1;
			else a[i][v]-=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=a[i];
}
void Gausselimination(int pos,int i){
	if(pos==N+1||i==N+1) return; dp[i]=0;
	for(int j=pos;j<=N;j++) if(dcmp(A[j][i])!=0){
		swap(A[pos],A[j]); break;
	}
	if(dcmp(A[pos][i])!=0)
		for(int j=pos+1;j<=N;j++){
			double k=A[j][i]/A[pos][i];
			for(int l=i;l<=N+1;l++)
				A[j][l]-=k*A[pos][l];
		}
	Gausselimination(pos+(dcmp(A[pos][i]!=0)),i+1);
	if(dcmp(A[pos][i])!=0){
		for(int l=i+1;l<=N;l++)
			dp[i]+=A[pos][l]*dp[l];
		dp[i]=A[pos][N+1]-dp[i];
		dp[i]=dp[i]/A[pos][i];
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>N>>M;
	for(int i=1,u,v,w;i<=M;i++){
		cin>>u>>v>>w;
		E.Adde(u,v,w); cnt[u]++; 
		if(v!=u) E.Adde(v,u,w),cnt[v]++;
	}
	for(int i=30;i>=0;i--){
		buildequation(i);
		Gausselimination(1,1);
		ANS=ANS*2+dp[1];
	}
	cout<<fixed<<setprecision(3)<<ANS<<endl;
	return 0;
}