leetcode笔记：Count Primes

Posted 2020-06-09 Herbert_Zero

一. 题目描述

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

二. 题目分析

题目有很多tips，大意是算出2 ~ n之间有多少个素数。

若使用暴力法只会是超时，而正确的思路来自著名的埃拉托斯特尼筛法。简单来说，要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于sqrt(n)的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。更多关于埃拉托斯特尼筛法，参照：
http://baike.baidu.com/link?url=A3VQVwl7tDk2aFKcEF6r5jIA_4dZtdw9QnyynKWW9u-2ZPEPcLrrd_hfVzyr94YuIYbhBfeoDrtWlxaSXaE9Lq

而在筛选过程中，也是有技巧的，以下第一种写法是建立一个大小为n的数组，经过初始化后：

从2开始将素数的倍数都标注为不是素数。第一轮将4、6、8、10...等标识为非素数；
然后遍历3的倍数，首先发现3没有被标记为非素数，因此将6、9、12、15...等标识为非素数；
遍历4的倍数，发现4本身就不是素数，它的倍数更不可能为素数，可跳过；

重复以上步骤一直遍历到n为止，再数一遍素数数组中有多少素数。

三. 示例代码

// 较为耗时，AC，400+ms
class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> numFlag(n, true);
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i)
            if (numFlag[i] == true)
                for (int j = i * 2; j < n; j = j + i)
                    numFlag[j] = false; // 成倍数的数均不是质数

        for (int i = 2; i < n; ++i)
            if (numFlag[i]) ++count;
        return count;
    }
};

// 更少的循环次数，AC, 12ms
int countPrimes(int n) {
    if(--n < 2) return 0;
    int m = (n + 1)/2, count = m, k, u = (sqrt(n) - 1)/2;
    bool notPrime[m] = {0};

    for(int i = 1; i <= u; i++)
        if(!notPrime[i])
          for(k = (i+ 1)*2*i; k < m; k += i*2 + 1)
              if (!notPrime[k])
              {
                  notPrime[k] = true;
                  count--;
              }
    return count;
}

四. 小结

最后，分享网上一种娱乐的解法，效率绝对是最高的：

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        switch(n) {
            case 0:
            case 1:
            case 2: return 0;
            case 3: return 1;
            case 4:
            case 5: return 2;
            case 6: 
            case 7: return 3;
            case 8:
            case 9: 
            case 10: 
            case 11: return 4;
            case 12: 
            case 13: return 5;
            case 14: 
            case 15: return 6;
            case 10000: return 1229;
            case 499979: return 41537;
            case 999983: return 78497;
            case 1500000: return 114155;
        }
    }
};