卡特兰数

Posted 2020-10-26 博客就叫Molex好了

一、什么是Catalan数

说到Catalan数，就不得不提及Catalan序列，Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是

递推公式是

C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + ... + C(n-1)C(1)，n>=2

我们从中取出的就叫做第n个Catalan数，前几个Catalan数如下：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …

咋看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。

 

二、Catalan数在组合计算中的应用

 

1、矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，有几种括号化的方案？

2、一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3、n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？

4、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？

5、在圆上选择2n个点，将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交，一共有多少种方法？(下图供参考)

6、n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数为h(n).例如， 4×4方格地图中的路径有：

7、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是。如下图所示：

8、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

9、甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。

10、2n个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

 

出栈顺序 与 卡特兰数(Catalan)的关系

一，问题描述

给定一个以字符串形式表示的入栈序列，请求出一共有多少种可能的出栈顺序？如何输出所有可能的出栈序列？

比如入栈序列为：1 2 3  ，则出栈序列一共有五种，分别如下：1 2 3、1 3 2、2 1 3、2 3 1、3 2 1

 

二，问题分析

先介绍几个规律：

①对于出栈序列中的每一个数字，在它后面的、比它小的所有数字，一定是按递减顺序排列的。

比如入栈顺序为：1 2 3 4。

出栈顺序：4 3 2 1是合法的，对于数字 4 而言，比它小的后面的数字是：3 2 1，且这个顺序是递减顺序。同样地，对于数字 3 而言，比它小的后面的数字是： 2 1，且这个顺序是递减的。....

出栈顺序：1 2 3 4 也是合法的，对于数字 1 而言，它后面没有比它更小的数字。同样地，对于数字 2 而言，它后面也没有比它更小的数字。

出栈顺序：3 2 4 1 也是合法的，对于数字 3 而言，它后面比 3 小的数字有： 2 1，这个顺序是递减的；对于数字 2 而言，它后面的比它 小的数字只有 1，也算符合递减顺序；对于数字 4 而言，它后面的比它小的数字也只有1，因此也符合递减顺序。

出栈顺序：3 1 4 2 是不合法的，因为对于数字 3 而言，在3后面的比3小的数字有：1 2，这个顺序是一个递增的顺序(1-->2)。

 

因此，当给定一个序列时，通过这个规律 可以轻松地判断 哪些序列是合法的，哪些序列是非法的。

 

②给定一个入栈顺序：1  2  3 .... n，一共有多少种合法的出栈顺序？参考：百度百科卡特兰数

答案是 卡特兰数。即一共有：h(n)=c(2n,n)/(n+1) 种合法的出栈顺序。

如果仅仅只需要求出一共有多少种合法的出栈顺序，其实就是求出组合 C(2n,n)就可以了。而求解C(2n,n)，则可以用动态规划来求解，具体可参考： 排列与组合的一些定理

 

三，代码实现

给定一个入栈顺序，比如 1 2 3 ，如何输出所有可能的出栈顺序？

思路①：先求出入栈顺序的所有排列（即全排列），并将排列保存到一个LinkedList<String>中，然后依次遍历每一个序列，判断该序列是否是合法的序列。

所谓合法的序列，就是满足上面的规律1：对于出栈序列中的每一个数字，在它后面的、比它小的所有数字，一定是按递减顺序排列的。 关于如何求解一个序列的全排列，可参考：JAVA求解全排列 

完整代码实现如下：（实现得不好，感觉比较复杂）

import java.util.Collections;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;

public class AllStackPopOrder {
        
    
    public static LinkedList<String> allPermutation(String str){
        if(str == null || str.length() == 0)
            return null;
        //保存所有的全排列
        LinkedList<String> listStr = new LinkedList<String>();
        
        allPermutation(str.toCharArray(), listStr, 0);
        
        //print(listStr);//打印全排列
        return listStr;
    }
    
    
    private static void allPermutation(char[] c, LinkedList<String> listStr, int start){

        if(start == c.length-1)
            listStr.add(String.valueOf(c));
        else{
            for(int i = start; i <= c.length-1; i++)
            {
                //只有当没有重叠的字符 才交换
                if(!isSwap(c, start, i))
                {
                    swap(c, i, start);//相当于: 固定第 i 个字符
                    allPermutation(c, listStr, start+1);//求出这种情形下的所有排列
                    swap(c, start, i);//复位
                }
            }
        }
    }
    
    private static void swap(char[] c, int i, int j){
        char tmp;
        tmp = c[i];
        c[i] = c[j];
        c[j] = tmp;
    }
    
    private static void print(LinkedList<String> listStr)
    {
        Collections.sort(listStr);//使字符串按照\'字典顺序\'输出
        for (String str : listStr) {
            System.out.println(str);
        }
        System.out.println("size:" + listStr.size());
    }
    
    //[start,end) 中是否有与 c[end] 相同的字符
    private static boolean isSwap(char[] c, int start, int end)
    {
        for(int i = start; i < end; i++)
        {
            if(c[i] == c[end])
                return true;
        }
        return false;
    }
    
    public static LinkedList<String> legalSequence(LinkedList<String> listStr){
        Iterator<String> it = listStr.iterator();
        String currentStr;
        while(it.hasNext())//检查全排列中的每个序列
        {
            currentStr = it.next();
            if(!check(currentStr))
                it.remove();//删除不符合的出栈规律的序列
        }
        return listStr;
    }
    //检查出栈序列 str 是否 是合法的出栈 序列
    private static boolean check(String str){
        boolean result = true;
        char[] c = str.toCharArray();
        char first;//当前数字.
        int k = 0;//记录 compare 数组中的元素个数
        char[] compare = new char[str.length()];
        for(int i = 0; i < c.length; i++)
        {
            first = c[i];
            //找出在 first 之后的，并且比 first 小的数字
            for(int j = i+1; j < c.length; j++)
            {
                if(c[j] > first)
                    continue;
                else
                {
                    compare[k++] = c[j];//将比当前数字小的 所有数字 放在compare数组中
                }
            }
            if(k == 0)
                continue;
            else{
                for(int m = 0; m < k-1; m++)//判断 compare 数组是否是 递减的顺序
                {
                    if(compare[m] < compare[m+1])
                    {
                        result = false;//不符合递减顺序
                        return result;
                    }
                }
            }
            k=0;
        }
        return result;
    }
    
    //hapjin test
    public static void main(String[] args) {
        String str = "1234";
        LinkedList<String> listStr = legalSequence(allPermutation(str));
        print(listStr);
    }
}

 

思路②：直接求出合法的出栈序列。【而不是像思路①那样：先求出所有可能的出栈序列(求全排列)，然后再找出合法的出栈序列。】

待完成。

 

参考

百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0/6125746?fr=aladdin

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7064e7850100y1xf.html