全排列编码于解码-康托展开式

Posted 2020-10-26 taming

在一些问题中需要对全排列状态进行编码，如果使用完美hash来实现的话需要编码数量在计算机承受范围内，康托展开式符合条件

公式：X=An*(n-1)!+An-1*(n-2)!+......A2*1!+A1*0!

其中An等于在剩余元素中当前元素第几大（从0开始）。
比如：1 4 2 6 5 3 7 8 9

1在剩下的1 4 2 6 5 3 7 8 9中为第0大

4在剩下的4 2 6 5 3 7 8 9中为第2大

2在剩下的2 6 5 3 7 8 9中为第0大

..........

8在8 9中为第0大

9在9中为第0大

则编码为0*8!+2*7!+0*6!+2*5!+1*4!+0*3!+0*2!+0*1!+0*0!=10344

解码          

辗转对n!作商和取余，商代表下一个位置元素在未选出元素中排第几大，举例

10344/8!=0

10344%8!=10344

10344/7!=2

10344%7!=264

264/6!=0

264%6!=264

264/5!=2

264%5!=24

24/24!=1

24%24=0

0/3!=0

.........

0%0!=0

1在1 2 3 4 5 6 7 8 9中排第0大

4在2 3 4 5 6 7 8 9中排第2大

2在2 3 5 6 7 8 9中排第0大

6在3 5 6 7 8 9中排第2大

5在3 5 7 8 9中排第1大

3在3 7 8 9中排第0大

7在7 8 9中排第0大

8在8 9中排第0大

9在9中排第0大

所以10344对应的排列为1 4 2 6 5 3 7 8 9

代码：

 

[cpp] view plain copy

 

1. #include<iostream>  
2. #include<vector>  
3. using namespace std;  
4.   
5.   
6. const long long maxN=363000;  
7. const long long p[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};  
8.   
9. long long coding(int* u){  
10.    long long code=0;  
11.    for(int i=0;i<9;i++){  
12.       int k=0;  
13.       for(int j=i+1;j<9;j++)if(u[i]>u[j])k++;  
14.       code+=k*p[8-i];  
15.    }  
16.    return code;  
17. }  
18.   
19. vector<int> decoding(long long code){  
20.    bool vis[9]={0};  
21.    vector<int> ans;  
22.    for(int i=8;i>=0;i--){  
23.       int u=code/p[i],v=0;code%=p[i];  
24.       while(u>=0){  
25.          if(vis[v]==false)u--;  
26.          v++;  
27.       }  
28.       ans.push_back(v);  
29.       vis[v-1]=true;  
30.    }  
31.    return ans;  
32. }  
33.   
34. int main(){  
35.    int u[]={1,4,2,6,5,3,7,8,9};  
36.    int code=coding(u);  
37.    vector<int> ans=decoding(code);  
38.    cout<<"code:"<<code<<endl<<"decode:";  
39.    for(int i=0;i<ans.size();i++)cout<<ans[i]<<‘ ‘;  
40. }