欧拉定理的应用
一个小技巧,连续 \(x\) 个 \(8\) 组成的数可以表示为 \(8 *(10^x - 1) /9\)
题目要求就变成了求满足 \(L \mid 8 * (10^x - 1) /9\)的最小的x
将原式整理可得:
\[L*9/gcd(L, 8) \mid 10 ^ x -1\]
设 \(p = L * 9/gcd(L,8)\)
原式可化为: \(10^x \equiv 1 \pmod p\)
引理:
满足上式的最小的 \(x\) 是\(\varphi( p)\)的约数
可用数学归纳法证明,即设 \(p = x * k + r\)证明
枚举\(\varphi (p)\)的约数,用快速幂验证即可
]注意本题的数据范围很大,有时会出现两个long long 相乘,所以要用慢速乘
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll num[75000], tot;
ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll phi(ll n) {
ll ans = n;
for(ll i = 2 ; i * i<= n ; i++) {
if(n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) ans = ans /n * (n - 1);
return ans;
}
ll mul(ll a, ll b, ll p){
ll ans = 0ll;
while(b) {
if(b & 1ll) (ans += a) %= p;
(a += a) %= p;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll quick_mod(ll a, ll n, ll p) {
ll ans = 1ll;
while(n) {
if(n & 1ll) ans = mul(ans, a, p);
a = mul(a, a, p);
n >>= 1;
}
return ans;
}
ll work(ll n, ll p) {
//ll ans = 0x3f7f7f7f7f7f7f7f;
tot = 0;
for(ll i = 1ll ; i * i <= n ; i++) {
if(n % i == 0){
if(quick_mod(10, i, p) == 1ll) return i;
if((n / i) != i) {
num[++tot] = n / i;
}
}
}
for(int i = tot; i >= 1; i--) {
if(quick_mod(10, num[i], p) == 1ll) return num[i];
}
return n;
}
int main() {
for(int k = 1 ; ; k++) {
ll n ;
cin>>n;
if(!n) break;
ll d = gcd(n, 8ll);
ll t = 9 * n / d;
if(gcd(t, 10) != 1) {printf("Case %d: 0\n", k);}
else printf("Case %d: %lld\n", k, work(phi(t), t));
}
return 0;
}