母函数与动态规划

Posted 2020-10-26 林木子

一、母函数

1.定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数： 

 

称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。

2.举例

1）几种砝码（1g,2g,3g,4g的砝码各一个）组合称重的情况

考虑构造母函数。 如果用x的指数表示称出的重量，则： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示。

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

{从上面的函数可以知道，可以称出1g-10g，指数便是可以称出的重量，相应的系数便是能称出该重量的方案个数}

2）求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数

因邮票允许重复，所以母函数为

以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4，即 ： 4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

3）整数拆分

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和，相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。

3.实现母函数的应用（关键是多项式展开）

整数拆分为例：