bzoj3240 && 洛谷P1397矩阵游戏[NOI2013]（矩阵乘法+卡常）

Posted 2020-10-26 QuartZ_Z

　　题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3240

　　这道题其实有普通快速幂+费马小定理的解法……然而我太弱了，一开始只想到了矩阵乘法的方法。

　　首先定义两个矩阵：

　　$ A_{1} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $
　　$ A_{2} = \begin{bmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

　　于是我们就可以得到这样的式子：

　　$ \begin{aligned}  \begin{bmatrix} f_{n,m} \\ 1 \end{bmatrix} & = A_{1} \begin{bmatrix} f_{n,m-1} \\ 1 \end{bmatrix} \\ & = A_{1}^{m-1} \begin{bmatrix} f_{n,1} \\ 1 \end{bmatrix} \\ & = A_{1}^{m-1} A_{2}\begin{bmatrix} f_{n-1,m} \\ 1 \end{bmatrix} \\ & = ( A_{1}^{m-1}  A_{2} )^{n-1} \begin{bmatrix} f_{1,m} \\ 1 \end{bmatrix} \\ & = ( A_{1}^{m-1} A_{2} )^{n-1}  A_{1}^{m-1} \begin{bmatrix} f_{1,1} \\ 1 \end{bmatrix}  \end{aligned} $

　　然后用一发10进制矩阵快速幂能解决这道题了。

　　然而……这种做法跑的极慢。在洛谷上还能以近2000msAC，放到bzoj的6元cpu上跑就有些力不从心了，，所以得卡常数。

　　经过了十几次提交，使用了奥义·卡常数：10^18进制进制快速幂+循环展开+register后终于卡进了时限。。。

　　代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define base 1000000000000000000ll
#define eps 1e-18
inline ll read()
{
    ll tmp=0; char c=getchar(),f=1;
    for(;c<‘0‘||‘9‘<c;c=getchar())if(c==‘-‘)f=-1;
    for(;‘0‘<=c&&c<=‘9‘;c=getchar())tmp=tmp*10+c-‘0‘;
    return tmp*f;
}
using namespace std;
struct mat{
    ll num[2][2];
}mat1,mat2;
struct hp{
    ll num[1000010];
    int len;
}n,m;
char s[1000010],t[1000010];
ll a,b,c,d;
mat times(mat a,mat b)
{
    mat c;
    c.num[0][0]=(a.num[0][0]*b.num[0][0]+a.num[0][1]*b.num[1][0])%mod;
    c.num[0][1]=(a.num[0][0]*b.num[0][1]+a.num[0][1]*b.num[1][1])%mod;
    c.num[1][0]=(a.num[1][0]*b.num[0][0]+a.num[1][1]*b.num[1][0])%mod;
    c.num[1][1]=(a.num[1][0]*b.num[0][1]+a.num[1][1]*b.num[1][1])%mod;
    return c;
}
mat power_num(mat a,ll b)
{
    mat ans; ans.num[0][0]=ans.num[1][1]=1; ans.num[0][1]=ans.num[1][0]=0;
    while(b){
        if(b&1)ans=times(ans,a);
        a=times(a,a); b>>=1;
    }
    return ans;
}
mat power(mat a,hp b)
{
    mat ans; ans.num[0][0]=ans.num[1][1]=1; ans.num[0][1]=ans.num[1][0]=0;
    for(register int i=1;i<=b.len;i++){
        ans=times(ans,power_num(a,b.num[i]));
        a=power_num(a,base);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    register int i;
    scanf("%s",s); scanf("%s",t); a=read(); b=read(); c=read(); d=read();
    mat1.num[0][0]=a; mat1.num[0][1]=b; mat1.num[1][0]=0; mat1.num[1][1]=1;
    mat2.num[0][0]=c; mat2.num[0][1]=d; mat2.num[1][0]=0; mat2.num[1][1]=1;
    int len1=strlen(s),len2=strlen(t);
    for(i=1;i*18<=len1;i++){
        n.num[i]=0;
        for(register short j=18;j;j--)
            n.num[i]=n.num[i]*10+s[len1-(i-1)*18-j]-‘0‘;
    }
    n.len=len1/18;
    if(len1%18){
        n.num[++n.len]=0;
        for(register short j=0;j<len1%18;j++)n.num[n.len]=n.num[n.len]*10+s[j]-‘0‘;
    }
    for(i=1;i*18<=len2;i++){
        m.num[i]=0;
        for(register short j=18;j;j--)
            m.num[i]=m.num[i]*10+t[len2-(i-1)*18-j]-‘0‘;
    }
    m.len=len2/18;
    if(len1%18){
        m.num[++m.len]=0;
        for(register short j=0;j<len2%18;j++)m.num[m.len]=m.num[m.len]*10+t[j]-‘0‘;
    }
    n.num[1]-=1;
    for(i=1;i<=n.len;i++)if(n.num[i]<0)n.num[i]+=base,n.num[i+1]-=1;
    if(n.num[n.len]==0&&n.len>1)--n.len;
    m.num[1]-=1;
    for(i=1;i<=m.len;i++)if(m.num[i]<0)m.num[i]+=base,m.num[i+1]-=1;
    if(m.num[m.len]==0&&m.len>1)--m.len;
    mat hang=power(mat1,m);
    mat ans=times(power(times(hang,mat2),n),hang);
    printf("%lld\n",(ans.num[0][0]+ans.num[0][1])%mod);
}

bzoj3240

 　　下次补个快速幂+费马小定理的解法。。。