洛谷 P1516 青蛙的约会(中国剩余定理CRT)

Posted 2020-10-26 LeTri

题目描述

 

两青蛙会相遇的条件[(x-y)+k(m-n)]%l=0
令a=m-n,b=l,c=x-y,所以(c+k*a)%b=0 -> aX+bY=c
方程有解，当且仅当c%Gcd(a,b)=0
令r=Gcd(a,b)
为什么(X*(c/r)%(b/r)+b/r)%(b/r)为最小解？
目标解aX+bY==c
有解的条件是c%r=0,也就是c=K*r
那么就办成了aX+bY=K*r
那么也就是解a*(X/K)+b(Y/K)=r
然后扩展欧几里得定理就是解a*X+b*Y=r
那么解出来X之后X就要乘上K也就是要乘上c/r
设Z=c/r,为了防止负数输出

#include<complex>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long X,Y,l,x,y,m,n;
long long Exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=Exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
    x=y;y=tmp-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&m,&n,&l);
    int a=n-m,b=l,c=x-y;
    if(a<0)
    {
        a=-a;
        c=-c;
    }
    long long r=Exgcd(a,b,X,Y);
    if(c%r)printf("Impossible\n");
    else printf("%lld\n",(X*(c/r)%(b/r)+b/r)%(b/r));
    return 0;
}