最长上升子序列

Posted 2020-10-26 难得~翛宁

什么是最长上升子序列，最长上升子序列就是在一段数字中最长按严格递增数列，不一定要连续

最长上升子序列有3种解法，但后面两种的时间复杂度都是nlogn，所以只列出其中比较常用的一种

而另一种就是用动态规划来做。

 

第一种，永远dp来做：

例如给出了2 5 3 4 1 7 6这了一段数字，这段数字存在了a数组当中

其中最长上升子序列是4

我们先建立另一个数组F，F的作用是储存从1到i的最长上升子序列数。

当aj<ai(j<i)，且当F[j]+1>F[i]时，F[j]+1>F[i]。对于每一个数都可以建立这样的求解方式

所以，要得出最终答案需要枚举前i个数字，即O（n^2）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 103;
const int INF=0x7f7f7f7f;
int a[maxn],F[maxn];
int n,ans=-INF;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        F[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])F[i]=max(F[i],F[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        ans=max(ans,F[i]);
    printf("%d\\n",ans);
    return 0;
}

 

第二种方法：（此段来自http://blog.csdn.net/George__Yu/article/details/75896330）

利用二分进行查找的方法，我们新建立一个low数组，ow[i]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。所以我们只需要对low进行维护就行。

那么，怎么维护low数组呢？
对于每一个a[i]，如果a[i]能接到LIS后面，就接上去；否则，就用a[i]取更新low数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a[i]的元素low[j]，用a[i]去更新low[j]。如果从头到尾扫一遍low数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到low数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分low数组，找出第一个大于等于a[i]的元素。二分一次low数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn =300003,INF=0x7f7f7f7f;
int low[maxn],a[maxn];
int n,ans;
int binary_search(int *a,int r,int x)
//二分查找，返回a数组中第一个>=x的位置 
{
    int l=1,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]<=x)
            l=mid+1;
        else 
            r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]); 
        low[i]=INF;//由于low中存的是最小值，所以low初始化为INF 
    }
    low[1]=a[1]; 
    ans=1;//初始时LIS长度为1 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>=low[ans])//若a[i]>=low[ans]，直接把a[i]接到后面 
            low[++ans]=a[i];
        else //否则，找到low中第一个>=a[i]的位置low[j]，用a[i]更新low[j] 
            low[binary_search(low,ans,a[i])]=a[i];
    }
    printf("%d\\n",ans);//输出答案 
    return 0;
}