数论1：简单素数判断

Posted 2020-10-26 sequix

假设我们要判断的数为n，则有以下讨论：

素数只能被1和本身整除，那么试除\(O(n)\)

n非素数，其约数必成对出现，如3和12/3=4都是12的约数，3和9/3=3都是9的约数（这里的成对可以相同），那么我们只需考虑\(\le \sqrt n\)的数，得\(O(\sqrt n)\)

素数可以被分为两类，偶素数和奇素数。偶素数只有2，所以我们在遍历之前单独判断n是否被2整除，并将循环步长增置2，得\(O(\frac{\sqrt n}{2})\)。

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    if(n % 2 == 0) return 0;

    int lim = sqrt(n);
    for(int i = 3; i <= lim; i += 2)
        if(n % i == 0) return 0;
    return 1;
}

奇素数可以通过产生所有奇数的表达式产生，比如：\(4k+1\)和\(4k+3\)能生成所有的奇数，所以这里的步长可为4，得\(O(\frac{\sqrt n}{4})\)

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    if(n % 2 == 0) return 0;

    int lim = sqrt(n);
    for(int i = 3; i <= lim; i += 4)
        if(n % i == 0) return 0;
    return 1;
}

提前先判断一部分奇数，减少后序循环中所需工作。比如\(6k+1\)、\(6k+3\)、\(6k+5\)
可生成所有奇数，提前判断3，则可令步长为6，得\(O(\frac{\sqrt n}{6})\)

bool isprime(int n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if(n < 4) return 1;
    if(n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0;
    if(n < 9) return 1;

    int lim = sqrt(n);
    // i+2是因为6k+5与6k-1同余，而6k-1与6k+1差2，所以+2
    for(int i = 5; i <= lim; i += 6)
        if(n % i == 0 || n % (i+2) == 0) return 0;
    return 1;
}

n若为合数，必能通过唯一形式的素数连乘形式表示（算术基本定理）
所以在上述方法中，不需考虑所以\(\le \sqrt n\)的数，仅考虑\(\le \sqrt n\)的素数即可，这里的时间复杂度可达\(O(\lg \sqrt n)\)。

但是，如何生成素数呢？