BSGS 算法，即 Baby Step,Giant Step 算法、拔山盖世算法。
计算 \(a^x \equiv b \pmod p\)。
\(p\)为质数时
由于费马小定理 \(x^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) 当 \(p\) 为质数，则要是暴力的话只需要枚举到 \(p-1\) 即可。
假设 \(x=it-j\)，其中 \(t= \lceil \sqrt p \rceil,j \in [0,t]\)，方程变为 \(a^{it-j} \equiv b \pmod p\)，即 \(a^{it} \equiv ba^j \pmod p\)。我们惊喜地发现，左右最多也就 \(t\) 个左右种可能的取值（这就是 \(t\) 为什么取那个值的原因），那我们枚举 \(j\)，把 \(ba^j\) 所对应的 \(j\) 都存起来，然后枚举 \(i\) 找有无对应即可。
若 \(ba^j\) 冲突怎么办？答：存 \(j\) 大的。因为要想 \(x\) 尽量小，就要让 \(j\) 尽量大。
第一个找到的 \(i\) 和它对应的 \(j\) 就是答案。为什么？答：因为 \(i\) 变化 \(1\)，\(x\) 变化的幅度是 \(t\)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T, k;
ll y, z, p;
map<int,int> d;
ll work1(ll a, ll b, ll p){
ll re=1;
while(b){
if(b&1) re = (re * a) % p;
a = (a * a) % p;
b >>= 1;
}
return re;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
if(!b){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll re=exgcd(b, a%b, x, y);
ll qwq=x;
x = y;
y = qwq - a / b * y;
return re;
}
void work2(){
ll u, v;
ll gcd=exgcd(y, p, u, v);
if(z%gcd) printf("Orz, I cannot find x!\n");
else
printf("%lld\n", ((u*z/gcd)%(p/gcd)+(p/gcd))%(p/gcd));
}
void work3(){
d.clear();
int m=sqrt(p);
if(m*m!=p) m++;
for(int i=0; i<=m; i++)
d[int((z*work1(y, i, p))%p)] = i;
if(!work1(y, m, p)){
if(z) printf("Orz, I cannot find x!\n");
else printf("1\n");
return ;
}
for(int i=0; i<=m; i++){
int tmp=work1(y, i*m, p);
if(d.find(tmp)!=d.end() && (ll)i*m-d[tmp]>=0){
printf("%lld\n", (ll)i*m-d[tmp]);
return ;
}
}
printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
int main(){
cin>>T>>k;
while(T--){
scanf("%lld %lld %lld", &y, &z, &p);
if(k==1) printf("%lld\n", work1(y, z, p));
if(k==2) work2();
if(k==3) work3();
}
return 0;
}测试数据：
2 3
39 26 13
6 11 51
0