为什么说“概率”带来一场现代革命？

Posted 2020-10-26 Vamei

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概率是生活中平常不过的概念。我们用概率来量化某种结果的可能性。日常生活中常见到概率。成功有概率，体育比赛的胜负有概率，彩票中奖也有概率。概率就是“概率论”这门学科研究的核心。不过，像概率这样“日常”的概念，是在16世纪文艺复兴时才成为数学家研究的课题。

 

最先研究概率论的是一位名为卡尔达诺的数学家。他研究了一个概率问题：

扔两个色子，总和为10的概率有多大？

 

扔色子这个游戏，大家常玩。色子是一个方块，六个面各有一个数字，从1到6。扔出去一个色子，那么出现六个面中任意一个面的概率相同，因此每种结果的概率就是1/6。

 

扔两个色子算总数时，总数概率就不一样了。直觉上来说，总数为2的概率会很小。只有两个骰子都为1这一种结果时，总数才能为2。我们把这样的两个色子的结果记成（1，1）。总数为10的概率要高一些，包括了（5，5）、（4，6）、（6、4）三种结果。在桌游《卡坦岛》中，每块儿土地有一个从2到12的数字。玩家通过扔两个色子决定那块儿土地产出资源。从下图看到，7号包含的结合总数，比2号大得多。在总共36种结果中，总数7对应了6种结果，概率是6/36，大约是16.7%。总数2只对应了1种结果，所以概率就是1/36，大约为2.8%。

卡坦岛的结果

 

我们看到，两个色子的概率问题解决起来很容易，根本不需要高深的数学知识。但这个问题直到16世纪才被卡尔达诺搞明白。当时正值 “文艺复兴”的时代。卡尔达诺的父亲，就是“文艺复兴”最著名画家达·芬奇的朋友。欧洲掌握了火药和印刷术，即将走入现代。放眼世界，哥伦布已经发现了美洲。中国进入到倒数第二个封建王朝：大明。日本已经结束了战国，进入最后一个幕府时代，也就是江户幕府。经过两千年的发展，数学家已经发明了非常复杂的数学工具：欧氏几何、代数方程、三角函数。诡异的是，看起来简单的概率论，到了这么晚的时间才诞生。

公元前300年就诞生的欧式几何

 

概率论诞生得晚，有一种技术性的解释：古代人制造色子的技艺不精。就拿古罗马人来说，根本就没有六个面方方正正的色子。人们赌博时用的，都是动物身上略显方正的关节骨，比如猪肘的骨头。由于表面不规则，不同结果出现的概率起伏很大，概率问题根本无从研究。然而，古人在金属加工方面的水平并不算低。既然能造出精美无双的首饰，那就完全有能力制作一个均匀的色子。因此，这个纯粹技术性的解释很难服众。

 

概率论诞生的根本阻碍，其实在于信仰。古人认为，事情的结果是神的安排。生意成功时，认为得到了财神保佑。地震发生，认为是触怒了老天。正是基于这样的信念，古人才会用求签和抽牌的随机方式，来窥探天意。抱着这样的信念，所谓的概率研究不但荒谬，而且有亵渎神灵的嫌疑。就以欧洲为例，从古罗马末期到文艺复兴，基督教拥有的权力甚至超过了国王。基督教认为上帝全知全能，安排了一切事情的结果。如果有个数学家宣称，数字就能代表结果的可能性，那上帝可真要无处安放了。

 

文艺复兴正是以理性挑战神权的时代，为随后的宗教改革奠定了基础。欧洲正是经过了文艺复兴洗礼，才摆脱了宗教的束缚。所以，概率论的诞生，必须以文艺复兴这样一场思想解放为前提。卡尔达诺解决的概率问题非常简单。他甚至在现代初中生就能解答的问题上犯错，比如“扔3个色子，至少出现一次6的概率”。但他无疑引领了一次思想革命。数学家自己也意识到概率论思想的危险性。卡尔达诺在表述概率想法时就小心翼翼，并且明确表示不能排除上帝的作用。事实上，在卡尔达诺逝世几十年后，伽利略重拾色子问题时，也在论文里尽量避免“概率”和“随机”之类的字眼。

 

无论如何，概率诞生了。为了赢钱，赌徒们可不在乎上帝。他们开始拿着赌场的问题求助于数学家。早期的概率问题就和赌博结下了不解之缘。费马和帕斯卡两位数学家就联手解决了一系列的赌博问题。其中一个有名的问题，是在一场未完成的赌局中，赌徒应该怎样分赃。拿一个简单的例子来说明。两个赌徒摇两次色子，约定以两次色子总和来比大小定输赢。第一轮，有人摇出5，另一个人摇出1。摇出5的人欢欣雀跃，摇出1的虽然沮丧但也盼着下一轮来翻盘。如果这个时候赌局停止，两人应该怎样分钱才公平。平分当然不公平。在第一轮已经完成的情况下，摇出5的赌徒应该有更大概率赢得第二轮。因此，这个人会期望自己分到更多的钱。

 

赌场的概率问题

 

费马和帕斯卡通过数学计算了每种结果出现的概率，再用概率来计算出每个人应该分到的钱。通过特定的数学方法，人们可以计算出对未知的“期望”。“期望”很快应用在兴旺的航海业中。当时的西欧国家都在全面投机航海业。帆船从亚洲、美洲、非洲运来大量货物，创造着巨额利润。可如果船沉了，投资人的钱就全亏了。有了“期望”这样的概率工具，商人可以计算出预期收益，最终决定入股哪艘航船。可以说，两位数学家为“股权投资”这一现代金融形式铺平了道路。 说到底，概率论研究的是未发生的事情。在盈利性投机的金融活动中，越多了解未来，就越能赚钱。

既然能赚钱，上帝就不那么重要了。商人们聚集在阿姆斯特丹、巴黎和伦敦的交易所，狂热地用数字来揣摩上帝对未来的安排。在投入实用的同时，概率依然充满了神秘色彩。在概率计算的第一步，数学家依然在使用经验性的假设，却无法说清为什么。为什么均匀色子一个面的结果和另一个面的色子相同？为什么硬币证明的概率是1/2？这些看似简单的问题，却涉及到了概率本质，甚至威胁到概率论的进一步发展。在这个危机关头，数学家又一次出手，挽救了概率论。

 

雅克布·伯努利是来自伯努利家族的“数二代”。伯努利提出了 “大数定律”。伯努利认为，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。换句话说，伯努利用频率解释了概率。如果你确定色子抛出1的概率，那就成千上万次地扔出色子，并记录结果1占总实验次数的比例。 “大数定律”去处了概率最后一分“玄学”色彩，让概率变成了像物理化学那样的实验学科。

 

在日常生活中，我们会在潜意识中把“频率”和“概率”联系起来。常听说东京地震的新闻，却不常听说上海地震，那上海地震的概率自然比东京的高。伯努利只是用严格的数学语言，更清楚地说明了“频率”和“概率”的关系。但千万不要小看“大数定律”。以这条数学定律为基础，概率论的大厦才能继续施工。这里举一个简单的应用，就是计算圆周率。一个半径是1的圆，它的面积就是圆周率。这个数字从3.1415926……开始，小数点后会有无限位。中国数学家祖冲之的伟大成就，就是通过复杂的几何方法，计算出了圆周率的后面的第七位。

 

但根据“大数定律”，我们可以用一种玩游戏的方法算出圆周率。我们找一个正方形的场地围起来。正方形变长是2。正方形中再画一个半径为1的内切圆，如下图所示。我们往这个场地中随机地丢沙包，并记下圆形中沙包和扔出沙包总数的比值。当我们扔越来越多沙包时，比值就会越来越趋近于圆周率的1/4。也就是说，困扰古人数千年的圆周率计算问题，可以通过丢沙包来算出无限高的精度。

扔沙包的场地

“丢沙包计算圆周率”的方式之所以成立，就在于“大数定律”。沙包会随机地出现在场地的任意一点，那沙包入圆的概率是圆形面积和方形面积的比值，也就是圆周率的1/4。另一方面根据“大数定律”，当我们扔的沙包越来越多的时候，结果中沙包成功进入到圆形的频率，会越来越趋近该情况的概率。因此，我们最终用扔沙包获得的频率，获得了包含在概率中的圆周率。 祖冲之的时代还没有概率的思想，想不到用这种简单的方法来计算圆周率。另一方面，这种名为“蒙特卡罗方法”的计算方式，已经是天气预报、金融博弈、航天器设计等领域不可或缺的工具。

 

如今，概率论已经是中学时就会接触的数学知识。但概率论的简单公式，记载了一场思想革命。在这场革命中，沉默的数学家用数字向上帝宣战，把“未来”从上帝那里转交到每个人的手上。这场革命不但改变了社会的面貌，也彻底改变了人的思想。