出栈序列统计

Posted 2020-10-26 我的露娜不会飘

【问题背景】

今天是一个阳光明媚，风和日丽的好日子，猪爸爸和猪妈妈带着佩奇和乔治去海滩玩耍。佩奇突发奇想，给乔治出了这么一道题。

【问题描述】

栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。

乔治才两岁，没法解决这么难的问题。这时，你恰好从乔治身边经过，于是他向你求助，请你帮助他解决这个问题。

【输入】【输出】

就一个数n(1≤n≤1000)。       一个数，即可能输出序列的总数目。

【样例】

stack.in stack.out

3 5

【胡乱分析】

设a，b，c分别代表等待进栈元素个数，栈中元素个数，出栈元素个数。元素的总个数n=a+b+c。则c=n-a-b，所以，只要知道a和b的数值，就可以求出c。那么对于这些元素来说，存在以下操作：①既进栈又出栈②只进栈不出栈③只出栈不进栈，那么对于三种操作，等待进栈元素个数与栈中元素个数也会进行相应的变化。

.用f（a，b）表示从（a,b）变为（0,0）的所有移动方法。即f(n,0)。写出以下递归式

边界值：f（0,0）=1。

对于原题，起初有n个元素等待进栈，栈中有0个元素。即f（n，0）

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 int n;
 8 int f(int a,int b)
 9 {
10     if(a == 0 && b == 0)
11         return 1; 
12     else if(a > 0 && b > 0)
13         return f(a-1,b+1)+f(a,b-1);
14     else if(a > 0 && b == 0)
15         return f(a-1,b+1);
16     else if(a == 0)
17         return f(a,b-1);
18 }
19 int main()
20 {
21     scanf("%d",&n);    
22     printf("%d",f(n,0));
23     return 0;
24 }

end。