[CodeForces 11D] A Simple Task - 状态压缩入门

Posted 2020-10-26 nishikino-curtis

状态压缩/Bitmask

在动态规划问题中，我们会遇到需要记录一个节点是否被占用/是否到达过的情况。而对于一个节点数有多个甚至十几个的问题，开一个巨型的[0/1]数组显然不现实。于是就引入了状态压缩，用一个整数的不同二进制位来表示该节点的状态。

Description

• Given a simple graph, output the number of simple cycles in it. A simple cycle is a cycle with no repeated vertices or edges.

Input&Output

Input

• The first line of input contains two integers n and m (1?≤?n?≤?19, 0?≤?m) – respectively the number of vertices and edges of the graph. Each of the subsequent m lines contains two integers a and b, (1?≤?a,?b?≤?n, a?≠?b) indicating that vertices a and b are connected by an undirected edge. There is no more than one edge connecting any pair of vertices.

Output

• Output the number of cycles in the given graph.

Sample

Input

4 6
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

Output

7

Solution

• 大意是求简单无向图的环数，暴搜遍历必然会TLE，重复环的处理也十分复杂。
• 考虑状态压缩，用二进制位来表示当前状态是否经过了特定的点。为了减轻重复环的处理难度，我们约定只计算起点序小于当前节点的状态(在代码中会有解释)。若节点i与当前节点y之间有边，状态的转移有以下几种条件：

1. 若当前状态的起点序大于当前节点 (k&-k>(1<<y)) ，不转移。
2. 若当前状态经过了当前节点 (k&(1<<y)) ,判断起点是否就是当前节点，若是，意味着我们找到了环，更新答案。
3. 若当前状态没有经过当前节点，则更新经过当前节点的状态 f[k|(1<<y)][y] ，由 f[k][i] 贡献。

• 遍历以每个节点为起点的所有状态，我们可以得到一个ans。但需要注意的是，这种计算方式会将两点间连一条边的路径(为什么？)和一个环的双向都计算在内，输出时需要将答案减去边数再除以2.
  细节与边界处理
• 由于二进制位需要从第0位开始，我们不妨在建图时同一将点的编号减1，方便计算。节点的遍历也要从0到n-1。
• 初始状态下，以节点i为起点，只经过i的状态，f值为1。

• 代码如下：

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  #define maxn 20
  #define maxe 400
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  struct edge{
  int to,nxt;
  }e[maxe];
  int n,m,x,y,edgenum,lnk[maxn];
  ll ans,f[1<<maxn][maxn];
  void add(int bgn,int end)//事实上，节点比较少，邻接矩阵也可以存下
  {
  edgenum++;
  e[edgenum].to=end;
  e[edgenum].nxt=lnk[bgn];
  lnk[bgn]=edgenum;
  }
  int main()
  {
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=m;++i)
  {
      scanf("%d%d",&x,&y);
      add(x-1,y-1);
      add(y-1,x-1);   
  }
  for(int i=0;i<n;++i)f[1<<i][i]=1;
  for(int k=0;k<(1<<n);++k){
      for(int i=0;i<n;++i){
          if(!f[k][i])continue;
          for(int p=lnk[i];p;p=e[p].nxt){
              int y=e[p].to;
              if((k&-k)>(1<<y))continue;//判断起点序
              if(k&(1<<y)){
                  if((k&-k)==(1<<y))//判断环
                      ans+=f[k][i];
              }
              else f[k|(1<<y)][y]+=f[k][i];
          }
      }
  }
  ans=(ans-m)/2;
  printf("%I64d",ans);
  return 0;
  }