最长上升子序列 bzoj-3173
题目大意：有1-n，n个数，第i次操作是将i加入到原有序列中制定的位置，后查询当前序列中最长上升子序列长度。
注释：1<=n<=10,000，开始序列为空。
想法：显然，我们发现，我每次加入的数一定是当前序列中最大的，所以，刚刚加入的i，要么是当前序列中LIS的结尾，要么不属于LIS。根据这个性质，我们想到：在Treap中维护这样的性质，就是维护每个数加入节点的编号。然后，我们更新新节点的方式就是它的左子树和右子树的LIS取最大+1。其实最重要的就是如何加入这个新的节点？我们引进非旋转Treap。
非旋转Treap在结构上和Treap一样，都是维护平衡的BST。但是，非旋转Treap在实现上更加暴力和简单。有两个操作，撕裂和合并。
撕裂？就是去除BST上的一条边，使得原来的非旋转Treap变成两颗树。这样我们就可以对于撕裂开的新子树进行一些单独的处理。例如我们可以撕裂两次，得到一段区间，那么在进行区间反转时就可以仅仅维护一段子树就可以了。
合并？就是将撕裂之后的子树进行合并即可。这样的话我们对于BST节点的一个权值是随机的，所以我们在合并时还要维护Treap的基本性质。
这道题的实现和理解无疑是非旋转Treap的裸题，但是非旋转Treap强大的地方已经得到体现。
最后，附上丑陋的代码... ...
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 300100 #define mp make_pair using namespace std; typedef pair<int,int> par; int n; int maxx[N],lis[N],size[N],ls[N],rs[N],key[N]; //maxx表示当前节点子树的LIS的长度 //lis表示当前子树中以当前节点结尾的不下降子序列长度 int root; void update(int x)//这是向上更新 { maxx[x]=lis[x]; size[x]=size[ls[x]]+size[rs[x]]+1; maxx[x]=max(maxx[x],max(maxx[ls[x]],maxx[rs[x]])); } int lson,rson; par split(int x,int k)//撕裂操作，返回的是撕裂后两棵新树的根节点，用pair来存储 { if(!k) return mp(0,x); lson=ls[x],rson=rs[x];par t; if(k==size[ls[x]]) { ls[x]=0;update(x); return mp(lson,x); } if(k==size[ls[x]]+1) { rs[x]=0;update(x); return mp(x,rson); } if(k<size[ls[x]]) { t=split(lson,k); ls[x]=t.second;update(x); return mp(t.first,x); } t=split(rson,k-size[ls[x]]-1); rs[x]=t.first;update(x); return mp(x,t.second); } int merge(int x,int y)//合并操作，返回的是合并之后的新树的根节点 { if(!x|!y) { return x|y; } if(key[x]<key[y]) { ls[y]=merge(x,ls[y]);update(y); return y; } rs[x]=merge(rs[x],y);update(x); return x; } int main() { scanf("%d",&n); int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int x; scanf("%d",&x); size[i]=1; key[i]=rand()*rand(); par t1; t1=split(root,x); lis[i]=maxx[i]=maxx[t1.first]+1; ans=max(ans,lis[i]); printf("%d\n",ans); root=merge(merge(t1.first,i),t1.second); } return 0; }
小结：非旋转Treap相较于Treap所涉及的范围更广，但虽然代码量有所下降，但是细节更多，难度更大。
错误：split的!k是要进行特判的，不然会死递归。