小专题哈密顿回路

Posted 2020-10-25 Kaori

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小专题哈密顿回路相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

哈密顿回路来历：

天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出，在一个有多个城市的地图网络中，寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径。

这个问题和著名的七桥问题的不同之处在于，七桥问题过桥只需要确定起点，而不用确定终点。

哈密顿回路问题已被证明是NP问题，具有这样性质的问题，很难找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络，利用现有最好的算法和计算机也需要比较荒唐的时间（比如几百年）才能确定其是否存在一条这样的路径。

今天，我们就来看看这类问题是什么样的呢？（“这类问题”说明不一定只是问你是否存在这样一条路径）

由于这是个NP问题，因此我目前的菜鸡水平只能做简化版的。

luogu1523.旅行商简化版

题目背景

欧几里德旅行商(Euclidean Traveling Salesman)问题也就是货郎担问题一直是困扰全世界数学家、计算机学家的著名问题。现有的算法都没有办法在确定型机器上在多项式时间内求出最优解，但是有办法在多项式时间内求出一个较优解。

为了简化问题，而且保证能在多项式时间内求出最优解，J.L.Bentley提出了一种叫做bitonic tour的哈密尔顿环游。它的要求是任意两点(a,b)之间的相互到达的代价dist(a,b)=dist(b,a)且任意两点之间可以相互到达，并且环游的路线只能是从最西端单向到最东端，再单项返回最西端，并且是一个哈密尔顿回路。

题目描述

著名的NPC难题的简化版本

现在笛卡尔平面上有n（n<=1000）个点，每个点的坐标为(x,y)（-2^31<x,y<2^31，且为整数），任意两点之间相互到达的代价为这两点的欧几里德距离，现要你编程求出最短bitonic tour。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n

接下来n行，每行两个整数x,y，表示某个点的坐标。

输入中保证没有重复的两点，

保证最西端和最东端都只有一个点。

输出格式：

一行，即最短回路的长度，保留2位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

25.58

这就是哈密顿问题的简化版。它把所有点放在了坐标轴上，并且规定了必须从最左端到最右端再回到最多段（就是规定了方向）。
由于题目中没有给每个点的坐标排序，我们可以先以横坐标x为第一关键字，纵坐标y为第二关键字从小到大排序。
这些点排好序之后，由于规定了方向，问题就转化成了求2条从最左上端（第一个点）到最右下端（最后一个点）的不相交的路径，且这两条路径经过所有点。把这两条路径都看做向右走的即可。
由于规定了方向，如果两条路径分别到达了第i、j个点，那么说明1到max(i,j)号点一定都经过了（因为只能向右走而不能折返，为了经过所有的点，左边的点必须都经过了才能到达本列）。
总结做法：
　　f[i][j]表示第一条路径走到第i个点，第二条路径走到第j个点的最短路径，要求i<j（这样max(i,j)就是j，能保证第二条路径一定走在前面），且第1到j个的点都被经过了。这样很容易想到，第j+1个点不是被第一个人走，就是被第二个人走，所以有转移方程
　　　　f[i][j+1] = min{ f[i][j+1], f[i][j]+dis[j][j+1] };
　　　 f[j][j+1] = min{ f[i][j+1], f[i][j]+dis[i][j+1] }.
第一个方程是让第二条路径走到第j+1个点，没啥问题。
第二个方程是让第一条路径走到第j+1个点，但不好理解，且这么走后是不是违反了 第一条路径到达的点i < 第二条路径到达的点j 的原则？但我没有明确指定哪条路径是第一条，哪条路径是第二条呀！因此当第一条路径跑到前面（即第j+1个点）时，我们可以把两条路径“交换”一下，而这样做不会影响状态，相当于第一条路径成了第二条路径，走到了第j个点；而第二条路径成了第一条路径，走到了第j+1个点。如此即可确保第二条路径仍在第一条路径前面了！

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define maxn 1001
 3 #define inf 1e30
 4 using namespace std;
 5 struct data
 6 {
 7     double x,y;
 8 }g[maxn];
 9 double d[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
10 int i,j,k,n;
11 bool cmp(const data &a,const data &b)
12 {
13     if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
14     return a.x<b.x;
15 }
16 double mdis(const data &a, const data &b)
17 {
18     return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
19 }
20 int main()
21 {
22     scanf("%d",&n);
23     for(i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&g[i].x,&g[i].y);
24     sort(g+1,g+n+1,cmp);//按横坐标x从小到大排序 
25     for(i=1;i<=n;++i)
26         for(j=i+1;j<=n;++j)
27         {
28             d[i][j]=mdis(g[i],g[j]); //求任意两点的距离 
29             f[i][j]=inf;
30         }
31     f[1][2]=d[1][2];
32     for(i=1;i<n;++i)
33         for(j=i+1;j<=n;++j)
34         {
35             f[i][j+1]=min(f[i][j+1],f[i][j]+d[j][j+1]);
36             f[j][j+1]=min(f[j][j+1],f[i][j]+d[i][j+1]);
37         }
38     printf("%.2lf\n",f[n-1][n]+d[n-1][n]);
39     return 0;
40 }