昨天的序言引发了许多关注
今天我们就推出第一题
【模型评估】
引言
“没有测量，就没有科学。”这是科学家门捷列夫的名言。在计算机科学中，特别是在机器学习的领域，对模型的测量和评估同样至关重要。只有选择与问题相匹配的评估方法，我们才能够快速的发现在模型选择和训练过程中可能出现的问题，迭代地对模型进行优化。
模型评估主要分为离线评估和在线评估两个阶段，针对分类、排序、回归、序列预测等不同类型的机器学习问题，评价指标的选择也有所不同，是否知道每种评估指标的精确定义，如何有针对性的选择合适的评估指标，是否能够根据评估指标的反馈进行模型调整，是机器学习模型评估阶段的关键问题，也是一名合格的算法工程师应具备的基本功。
在所有的模型评估指标中，ROC曲线和AUC值无疑是最常用的指标之一，我们模型评估的第一道面试题也是基于ROC曲线提出的。
问题
在一个二值分类问题中，
如何绘制模型的ROC曲线并计算相应的AUC值？
ROC曲线相比PR(Precision-Recall)曲线有什么优点？
【问题背景】
二值分类器（binaryclassifier）是机器学习领域中最常见也是应用最为广泛的分类器。评价二值分类器的指标很多，比如precision，recall，F-score，PR曲线等，相比较而言，基于ROC曲线的AUC值有很多突出的优点（本题第二问会做相关解释），经常作为评估二值分类器最重要的指标之一。下面我们详细解答一下这道面试题。
【解答】
ROC曲线的全称是theReceiver Operating Characteristic曲线，中文名为“受试者工作特征曲线”。AUC全称是Area under the Curve，曲线下面积，这里的“曲线”一般就是指ROC曲线。所以这道面试题第一问的重点就绘制出ROC曲线，基于ROC曲线计算面积的方法是显然的。
ROC曲线的横坐标为falsepositive rate（FPR），中文一般称为假阳性率，纵坐标为truepositive rate（TPR），中文一般称为真阳性率。FPR和TPR的计算方法如下：
上式中，P指的是所有样本中，真正的正样本的数量，N指的是真正的负样本的数量。TP指的是P个正样本中，分类器把其中TP个预测为正。FP指的是，N个负样本中，分类器把其中FP个样本误判成了正样本。
只看定义确实有点绕，为了更直观的说明这个问题，我们举一个医院诊断病人的例子。假设有10位疑似癌症患者，其中有3位很不幸确实患了癌症（P=3），另外7位不是癌症患者（N=7）。医院对这10位疑似患者做了诊断，也确实发现了3位患了癌症，但这3位患者中，只有2位是真正的患者（TP=2）。那么真阳性率TPR=TP/P=2/3。而对于7位非癌症患者来说，有一位很不幸被误诊为癌症患者（FP=1），那么假阳性率FPR=FP/N=1/7。对于“医院”这个分类器来说，这组分类结果就对应ROC曲线上的一个点（1/7,2/3）。那么ROC曲线上的其他点都是怎样生成的呢？
事实上，ROC曲线是通过不断移动分类器的“截断点”来生成所有关键点的，我们通过下面的例子来解释“截断点”的概念。
在一个二值分类问题中，我们构建的模型输出一般都是预测样本为正例的概率。假设我们的测试集中有20个样本，模型的输出如下图所示，图中第一列为样本序号，Class为样本的真实标签，Score为模型输出的样本为正的预测概率，样本按照预测概率从高到低排序。
图片来自Fawcett,Tom. "An introduction to ROC analysis." Pattern recognition letters27.8 (2006): 861-874.
在预测样本为正负例的时候，我们需要指定一个阈值。大于等于这个阈值的样本都会预测为正样本。比如指定0.9为阈值，那么只有第一个样本会被预测为正例，其他全部都是负例。上面所说的“截断点”指的就是区分正负预测结果的阈值。我们动态调整这个截断点，从最高的得分开始（实际是从正无穷开始开始，对应着ROC曲线的零点），逐渐调整到最低得分，每一个截断点都会对应一个FPR和TPR，在ROC图上绘制出每个截断点对应的位置，再连接每个点即得到最终的ROC曲线。
就本例来说，当截断点选择为正无穷时，模型把全部样本预测为负例，那么FP和TP必然都为0，FPR和TPR也都为0，显然，曲线的第一个点就是(0,0)。当把截断点调整为0.9时，模型预测1号样本为正样本，并且该样本确实是正样本，因此，TP=1，20个样本中，所有正例数量为P=10，故TPR=TP/P=1/10；这里没有预测错的正样本，即FP=0，负样本总数N=10，故FPR=FP/N=0/10=0。对应着ROC图上的点(0,0.1)，依次调整截断点，直到画出全部的关键点，再连接关键点即得到了下图所示的ROC曲线。
图片来自Fawcett, Tom. "An introduction to ROCanalysis." Pattern recognition letters 27.8 (2006): 861-874.
其实，绘制ROC曲线有一个更直观的方法，我们首先根据样本标签统计出正负样本的数量，假设正样本数量为P，负样本数量为N。下一步就把横轴的刻度间隔设置为1/N，纵轴的刻度间隔设置为1/P。再根据模型预测结果将样本进行排序后，从高到低遍历样本，与此同时从零点开始绘制ROC曲线，每遇到一个正样本就沿纵轴正方向绘制一个单位长度的曲线，每遇到一个负样本就延横轴正方向绘制一个单位长度的曲线，直到遍历完所有样本，曲线也最终终结在(1,1)这个点。
有了ROC曲线，计算AUC只要沿着横轴做积分就可以了。由于ROC曲线一般都处于y=x这条直线的上方（如果不是的话，只要把模型预测的概率反转成1-p就可以得到一个更好的分类器），所以AUC的取值一般在0.5和1之间。显然，AUC越大，分类器越可能把真正的正样本排在前面，分类器性能越好。
ROC曲线相比PR(Precision-Recall)曲线有什么优点？
除了ROC曲线外，还有很多评估分类模型的指标，PR曲线也是经常使用的指标之一。与ROC曲线不同的是，PR曲线的横坐标是Recall，纵坐标是Precision。
ROC曲线相比PR曲线有一个非常好的特性：就是当正负样本分布发生变化的时候，ROC曲线的形状能够基本保持不变。而PR曲线的形状会发生较剧烈的变化。
图片来自Fawcett, Tom. "An introduction to ROCanalysis." Pattern recognition letters 27.8 (2006): 861-874.
举例来说，上图是ROC曲线和PR曲线的一张对比图，左边两幅是ROC曲线，右边两幅是PR曲线。下面两幅图是将测试集的负样本数量增加10倍后的结果。可以明显看出，PR曲线发生了明显的变化，而ROC曲线形状基本不变。这就让ROC曲线能够尽量屏蔽测试集选择带来的干扰，更加客观的衡量模型本身的性能。
这样的优点有什么实际意义呢？因为在很多实际问题中，正负样本数量往往很不均衡，比如计算广告领域经常涉及的转化率模型，正样本的数量往往是负样本数量的1/1000甚至1/10000，这个时候选择不同的测试集，PR曲线的变化就会非常大，这显然不利于评估模型本身的性能。而ROC曲线则能够更加稳定的反应模型本身的好坏，适用的场景更多，广泛适用于排序、推荐、广告等领域。
下一题预告
【SVM模型】
引言
SVM(Support Vector Machine, 支持向量机）是众多监督式学习方法中十分出色的一种，几乎所有的讲述经典机器学习方法的教材都会介绍。以它为模型，可以考察机器学习各个方面的知识，也是面试题目中常见的模型，SVM的第一道面试题就是考察模型推导的基础知识。
问题
在空间上线性可分的两类点，分别向SVM分类的超平面上做投影，这些点在超平面上的投影仍然是线性可分的吗？能否证明你的观点？