GMA Round 1 三角形

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三角形

  在△ABC中已知$sin2A+sin2B+sin2C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,求$cos\frac{A}{2}*cos\frac{B}{2}*cos\frac{C}{2}$的最小值。保留3位小数。

 

 

$$sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=4*sinA*sinB*sinC$$
$$4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$ $$=2cos\frac{A}{2}(cos\frac{B+C}{2}+cos{B-C}{2})$$ $$=sinA+2sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$$ $$=sinA+sinB+sinC$$ $$≥3\sqrt[3]{sinA*sinB*sinC}$$ $$=3\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}}$$ $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≥\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

  定位:中等题

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