Codeforces 938E Max History：排列 + 逆元考虑单个元素的贡献

Posted 2020-10-25 Leohh

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/938/E

题意：

　　定义f(a):

　　　　初始时f(a) = 0, M = 1。

　　　　枚举i = 2 to n，如果a[i] > a[M]，那么f(a) += a[M], M = i。

　　给定长度为n的数组a，问你它的所有排列的f(a)之和 MOD 1e9+7。

 

题解：

　　对于某个确定排列中的一个数a[i]，如果所有大于等于a[i]的数都排在a[i]之后，那么一定ans += a[i]。

　　所以就要求每个a[i]对于答案的贡献，相加起来即为总答案。

 

　　先将a[i]升序排列。

　　考虑由所有n个数组成的排列：

　　　　总排列数为n!。

　　仅考虑由大于等于a[i]的数组成的排列：

　　　　大于等于a[i]的数共有n-i+1个。

　　　　总排列数为(n-i+1)!。

　　　　其中a[i]排在最前面的排列有(n-i)!个。

　　所以由n个数组成，且所有大于等于a[i]的数都排在a[i]之后

　　这样的排列的总数为(n-i)! / (n-i+1)! * n!个。

　　化简即为n!/(n-i+1)个。

　　所以a[i]对答案作出的贡献为：n! / (n-i+1) * a[i]。

 

　　所以对于区间[i,nex)，如果a[i to nex-1]都相等的话

　　这个区间对答案做出的总贡献即为：n! / (n-i+1) * a[i] * (nex-i)

 

　　特别地，如果有a[i] == a[n]，显然它对答案的贡献为0。

　　另外，对于贡献中的除以(n-i+1)，应该写成乘inv(n-i+1)。

　　最后O(n)统计一下就好。

 

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <algorithm>
 5 #define MAX_N 1000005
 6 #define MOD 1000000007
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 int n;
11 int a[MAX_N];
12 long long ans=0;
13 
14 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
15 {
16     if(b==0)
17     {
18         x=1; y=0;
19         return;
20     }
21     exgcd(b,a%b,y,x);
22     y-=(a/b)*x;
23 }
24 
25 int inv(int a)
26 {
27     int x,y;
28     exgcd(a,MOD,x,y);
29     return (x%MOD+MOD)%MOD;
30 }
31 
32 int main()
33 {
34     cin>>n;
35     for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
36     long long f=1;
37     for(int i=1;i<=n;i++) f=f*i%MOD;
38     sort(a+1,a+1+n);
39     int nex=1;
40     for(int i=1;i<=n;i=nex)
41     {
42         if(a[i]==a[n]) break;
43         while(nex<=n && a[i]==a[nex]) nex++;
44         ans=(ans+f*inv(n-i+1)%MOD*a[i]%MOD*(nex-i)%MOD)%MOD;
45     }
46     cout<<ans<<endl;
47 }