HDU3439 Sequence

Posted 2020-10-25 大奕哥&VANE

今天下午学习了二项式反演，做了一道错排的题，开始了苦逼的经历。

显然答案是C(︀n,k)︀*H(n − k).
其中H(i)为长度为i的错排序列

然后经过课件上一番二项式反演的推导

我就写了个扩展卢卡斯然后交上去了。

一直t啊.....

我算了算复杂度差不多是O(T*P*log^3P)

后来剪了剪枝，应该低了点。

还是t啊.....

我搜了搜题解发现没有我这么写的。

看了一下错排是有规律的，果然还是打表大法吼啊。

发个正解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmod(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(m)
    {
        if(m&1)ans=ans*n%p;
        n=n*n%p;m>>=1;
    }
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){
        x=1;y=0;return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
ll inv(ll n,ll p)
{
    if(!n)return 0;
    ll a=n,b=p,x=0,y=0;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if(!x)x+=b;
    return x;
}
ll mul(ll n,ll pi,ll pk)
{
    if(!n)return 1ll;
    ll ans=1;
    if(n/pk)
    {
        for(ll i=2;i<=pk;++i)
            if(i%pi)ans=ans*i%pk;
        ans=qmod(ans,n/pk,pk)%pk;
    }
    for(ll i=2;i<=n%pk;++i)
        if(i%pi)ans=ans*i%pk;
    return ans*mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}
int C(ll n,ll m,ll p,ll pi,ll pk)
{
    if(m>n)return 0;
    ll a=mul(n,pi,pk),b=mul(m,pi,pk),c=mul(n-m,pi,pk);
    ll k=0,ans;
    for(ll i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
    for(ll i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
    for(ll i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*qmod(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(p/pk)%p*inv(p/pk,pk)%p;//CRT
}
bool v[100005];
int pp[100005],cnt;
void pri()
{
    for(int i=2;i<=100000;++i)
    {
        if(!v[i])
        {
            pp[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pp[j]<=100000;++j)
        {
            v[i*pp[j]]=1;
            if(i%pp[j]==0)break;
        }
    }
}
ll calc(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=0;
    for(ll x=p,i=1;i<=cnt&&x;++i)
    {
        if(x==1)break;
        if(x%pp[i]==0)
        {
            ll num=1;
            while(x%pp[i]==0)x/=pp[i],num*=pp[i];
            ans=(ans+C(n,m,p,pp[i],num))%p;
        }  
    }
    return ans;
}
ll F(ll x,ll p)
{
       ll ans=0;
    if(x==0)return 1;
    x=x%(2*p);
    if(x==0)x=2*p;
    for(int i=2;i<=x;++i)
    ans=(ans*i+(i%2==0?1:-1))%p; 
    return (ans+p)%p;
}
int main()
{
    ll n,m,p,t,ans=0;
    scanf("%I64d",&t);pri();v[1]=1;
    for(int ii=1;ii<=t;++ii)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
        ans=calc(n,m,p)%p;
        ans=ans*F(n-m,p)%p;
        printf("Case %d: %I64d\\n",ii,ans);
    }
    return 0;
}

再补个我的辣鸡程序，路过的dalao帮忙看看也中啊、

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmod(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(m)
    {
        if(m&1)ans=ans*n%p;
        n=n*n%p;m>>=1;
    }
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){
        x=1;y=0;return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
ll inv(ll n,ll p)
{
    if(!n)return 0;
    ll a=n,b=p,x=0,y=0;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if(!x)x+=b;
    return x;
}
ll mul(ll n,ll pi,ll pk)
{
    if(!n)return 1ll;
    ll ans=1;
    if(n/pk)
    {
        for(ll i=2;i<=pk;++i)
            if(i%pi)ans=ans*i%pk;
        ans=qmod(ans,n/pk,pk)%pk;
    }
    for(ll i=2;i<=n%pk;++i)
        if(i%pi)ans=ans*i%pk;
    return ans*mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}
int C(ll n,ll m,ll p,ll pi,ll pk)
{
    if(m>n)return 0;
    ll a=mul(n,pi,pk),b=mul(m,pi,pk),c=mul(n-m,pi,pk);
    ll k=0,ans;
    for(ll i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
    for(ll i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
    for(ll i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*qmod(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(p/pk)%p*inv(p/pk,pk)%p;//CRT
}
bool v[100005];
int pp[100005],cnt;
void pri()
{
    for(int i=2;i<=100000;++i)
    {
        if(!v[i])
        {
            pp[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pp[j]<=100000;++j)
        {
            v[i*pp[j]]=1;
            if(i%pp[j]==0)break;
        }
    }
}
ll calc(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=0;
    for(ll x=p,i=1;i<=cnt&&x;++i)
    {
        if(x==1)break;
        if(x%pp[i]==0)
        {
            ll num=1;
            while(x%pp[i]==0)x/=pp[i],num*=pp[i];
            ans=(ans+C(n,m,p,pp[i],num))%p;
        }  
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,m,p,t,ans=0;
    scanf("%I64d",&t);pri();v[1]=1;
    for(int ii=1;ii<=t;++ii)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
        ans=calc(n,m,p)%p;n-=m;ll pre=0;ll num=1,pos=max(0ll,n-p);
        if(!ans)
        {
             printf("Case %d: %I64d\\n",ii,pre*ans%p);continue;
        }
        for(ll k=n;k>=pos;--k)
        {
            if(n!=k)num=num*(n-k)%p;
            if(k&1ll)pre=(pre-calc(n,k,p)%p*num%p+p)%p;
            else pre=(pre+calc(n,k,p)%p*num%p)%p;
            if(!num)break;
        }
        printf("Case %d: %I64d\\n",ii,pre*ans%p);
    }
    return 0;
}

好吧，蒟蒻苦逼的一下午。

同时纪念衡水人民224起义。