Codeforces 888D Almost Identity Permutations：错排公式

Posted 2020-10-25 Leohh

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/888/D

题意：

　　给定n,k，问你有多少种1到n的排列，满足至少有n-k个a[i] == i。

　　(4 <= n <= 1000, 1 <= k <= 4)

 

题解：

　　转换题意：

　　　　给定n,k，问你有多少种1到n的排列，满足最多有k个a[i] != i。

　　D(i)表示1到i的排列的错排方案数。

　　那么ans = ∑(C(n,i) * D(i)) + 1，其中i∈[2,k]。

　　ps:

　　　　错排递推式：D(n) = (n-1) * (D(i-1)+D(i-2))

　　　　错排通项式：D(n) = n! * ∑(((-1)^i) / i!)，其中i∈[2,n]

 

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 long long n,k;
 8 long long ans=1;
 9 
10 int main()
11 {
12     cin>>n>>k;
13     if(k>=2) ans+=n*(n-1)/2;
14     if(k>=3) ans+=2*n*(n-1)*(n-2)/6;
15     if(k>=4) ans+=9*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24;
16     cout<<ans<<endl;
17 }