BZOJ1486 最小圈 [分数规划+负权环]

Posted 2020-10-25 crazydave

Description

考虑带权的有向图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\),每条边\(e=(i,j)(i\neq j,i\in V,j\in V)\)的权
值定义为\(w_{i,j}\)，令\(n=|V|\)。\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)(c_i\in V)\)是\(G\)中的一个圈当且仅当
\((ci,ci+1)(1≤i<k)\)和\((ck,c1)\)都在\(E\)中，这时称\(k\)为圈\(c\)的长度同时令\(c_{k+1}=c_1\)，并定义圈\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)\)的平均值为\(\mu(c)=\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}/k\)，即\(c\)上所有边的权值的平均值。令\(\mu‘(c)=Min(\mu(c))\)为\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值。现在的目标是：在给定了一个图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\)之后，请求出\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值\(\mu‘(c)=Min(\mu(c))\)

Input

第一行2个正整数，分别为\(n\)和\(m\)，并用一个空格隔开，只用\(n=|V|,m=|E|\)分别表示图中有\(n\)个点\(m\)条边。 接下来m行，每行3个数\(i,j,w_{i,j}\)，表示有一条边\((i,j)\)且该边的权值为\(w_{i,j}\)。输入数据保证图\(G=(V,E)\)连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。

Output

请输出一个实数\(\mu‘(c)=Min(\mu(c))\)，要求输出到小数点后8位。

Sample Input

4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3

Sample Output

3.66666667

Hint

对于100%的数据，\(n\le 3000,m\le 10000,|w_{i,j}| \le 10^7\)

思路

看到题目中的“平均值的最小值”，便想到可以分数规划，这道题运用的是0-1分数规划的思想。

0-1分数规划的一般形式是这样一个式子：
\(r=(∑(c_i*x_i))/(∑(d_i*x_i))\) 在其中 \(x_i∈\){0,1}

我们一般求的便是r的最值。有一种基础的方法是二分r的值：
将原式变形，\(∑(c_i*x_i))-(∑(d_i*x_i)*r=0\)
令\(f(r)=∑(c_i*x_i))-(∑(d_i*x_i)*r\)

不难看出\(f(r)\)是单调递减的函数，我们可以通过\(f(r)\)与0的关系来二分出r的最值：
当\(f(r)>0\)时 表明这时r可以取更大
当\(f(r)=0\)时 表明这时r即为符合要求的最值
当\(f(r)<0\)时 表明这时r可以取更小

我们便在本题中运用这个思想。在本题中，公式中的r即为最小的平均值，c即为边权，d为1 (∑\(d_i*x_i\)即为边的个数），x表示这条边是否在圈中，f(r)转换后可以看作是边权减去r后最小圈的权值之和。

当f(r)<0时，这个圈就是负权环，于是我们便可以根据是否存在负权环来二分出r的值。
我判断负权环的方法是使用dfs-spfa，详细内容可以看代码（顺便给出模板题链接洛谷P3385）。

代码

需要注意的细节：

1. 注意二分的精度
2. 判负环注意方法，不然容易T

#include <bits/stdc++.h>
#define exp 1e-9  //二分的精度
#define inf 1e9
#define MAXN 10005
using namespace std;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN];
int cnt,head[MAXN],vis[MAXN],flag;
double dis[MAXN],c[MAXN]; //一定要用double存
struct Edge{int to,next; double w;} edge[MAXN];

void addedge(int x, int y, double w)
{ //前向星存图
    edge[++cnt].next=head[x];
    edge[cnt].to=y;
    edge[cnt].w=w;
    head[x]=cnt;
}

void spfa(int x)
{  //dfs_spfa判负环
    vis[x]=true;
    for(int i=head[x]; i; i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if(dis[x]+edge[i].w<dis[to])
        {
            dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
            if(vis[to]) {flag=true; return;}
            else spfa(to);
        }
    }
    vis[x]=false;
}

bool check(double x)
{
    cnt=flag=0;
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(dis, 127/3, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i=1; i<=m; i++) addedge(a[i], b[i], c[i]-x); //重新赋权值
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        spfa(i); //判负环
        if(flag) return 1;  
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++) scanf("%d%d%lf",&a[i],&b[i],&c[i]);
    double l=-inf,r=inf;
    while(l+exp<r) //分数规划
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.8lf",l);
    return 0;
}