[SHOI2012]随机树
题目大意( 网址戳我！ )
随机树是一颗完全二叉树，初始状态下只有一个节点。
随机树的生成如下：每次随机选择一个叶子节点，扩展出两个儿子。
现在给定一个正整数\(n\)(\(n \le 100\)) ， 询问叶子节点个数为\(n\)的随机树：
- \(q = 1\) ：叶子节点的平均深度
- \(q = 2\) ：整棵随机树的平均深度
样例：\(cin\ q\ n\ \ \ \ ;cin\ 1\ 4\ ,\ put\ 2.166667\ \ \ ;\ \ \ cin \ 2 \ 4\ ,\ put\ 2.666667\ \ \ ;\)
解题思路
\(solve_a\)： \(q = 1\) (叶子节点平均深度)
设\(f(x)\)表示扩展了\(x\)次后的叶子节点平均深度。
那么求\(f(x)\)时 ， 直接把新扩展的节点深度设为 \(f(x-1)\) 不就行了吗？
转移：
\(f(x) = \frac{1}{x} (\ f(x-1)*(x-1) - f(x - 1) + (f(x-1)+1)*2\ )\)
把它展开后：
\(f(x) = f(x - 1) + \frac{2}{x}\) ， 初始值：\(f(0) = 0\) ;
\(solve_b\)： \(q = 2\) (整棵树的平均深度)
整数概率公式：\(E(x) = \sum_{i=1}^{\infty} P(x \ge i)\)
所以只要求随机树层数大于等于\(i\)层的概率即可。
我们脱离扩展，改为构建一颗有\(n\)个叶子节点，问层数大于等于\(i\)层的概率。
设\(f[x][d]\)表示有\(x\)个叶节点，树深度大于等于\(d\)的概率。
那么每次通过添加根来提升层数 ， 枚举左右儿子分配多少个叶子节点即可。
转移：
\[f[x][d] = \frac{1}{x-1}\sum_{i=1}^{x-1} = f[i][d-1] + f[x-i][d-1] - f[i][d-1]*f[x-i][d-1]\]
就是小学容斥原理 ， 然后初值为：\(f[x][0] = 1.0\)
实现代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define IL inline
#define _ 101
using namespace std;
double f[_][_],res,ans; int q , n ;
IL void solve1(){
for(RG int i = 2; i <= n; i ++) res += 2.0 / (double)i ;
printf("%.6lf" , res) ; return ;
}
IL void solve2(){
for(RG int x = 1; x <= n; x ++)f[x][0] = 1.0;
for(RG int x = 2; x <= n; x ++)
for(RG int d = 1; d <= x ; d ++){
for(RG int l = 1; l <= x - 1; l ++)
f[x][d] += f[l][d-1] + f[x-l][d-1] - f[l][d-1]*f[x-l][d-1] ;
f[x][d] /= (double)(x - 1) ;
}
ans = 0; for(RG int i = 1; i <= n; i ++)ans += f[n][i] ;
printf("%.6lf" , ans) ; return ;
}
int main(){
cin >> q ; cin >> n;
(q & 1) ? solve1() : solve2() ;
return 0;
}