【参考】
任之洲数论函数.pdf
【积性函数】
积性函数的约数和，前缀和，相互卷积也是积性函数。
1.f(1)=1。
2.性质一：对于n=∏pi^ki，有f(n)=∏f(pi^ki)
性质二：对于完全积性函数，还有f(n)=∏f(pi)^ki以及f(n^k)=f(n)^k
常见的积性函数：
1.d(n)=Σd|n1，表示n的因子个数，即d=i*i
2.σ(n)=Σd|nd，表示n的因子和，即σ=i*id
3.i(n)=1，恒等函数
4.id(n)=n，单位函数
5.e(n)=[n=1]，元函数，即f=f*e
6.φ(n)=Σ[(n,i)=1]*1，欧拉函数
7.μ(n)，莫比乌斯函数，μ(n)=(-1)^k，k为n的素因子个数，有重复素因子时μ=0
【狄利克雷卷积】
定义两个数论函数f,g的狄利克雷卷积：(f*g)(n)=Σd|nf(d)*g(n/d)。
1.莫比乌斯函数，e(n)=Σd|nμ(d)，即e=μ*i。
莫比乌斯反演，由g=f*i，得f=g*μ。
证明：f=g*μ=f*i*μ=f*e=f。
即由g(n)=Σd|nf(d)，得f(n)=Σd|ng(d)*μ(n/d)。
类似的，由g(n)=Σn|df(d)，得f(n)=Σn|dg(d)*μ(d/n)。
2.欧拉函数，n=Σd|nφ(d)，即id=φ*i。
由反演得，φ=id*μ，即φ(n)/n=Σd|nμ(d)/d。
【和式Σ变换技巧】
基本法则（具体数学）：
1.分配律，Σkc*ak=c*Σkak，即提出与Σ无关的乘数。
2.结合律，将相邻Σ的条件结合或分离。
3.交换律，即Σ的枚举可以改变顺序。
4.一般分配律，Σj,kaj*bk=(Σaj)*(Σbk)
5.多重交换律，当相邻Σ枚举域相关时，需满足：
[j∈J][k∈K(j)]=[k∈K‘][j∈J‘(k)]
通常J=K‘是所有整数集合，第二重根据操控二重和式性质的p(j,k)推出。
6.换元，即更换Σ的枚举元。
7.艾弗森约定，即将Σ底端限制变成条件，如Σi∈Ii=Σi*[i∈I]。
简化技巧：
1.