[离散时间信号处理学习笔记] 12. 连续时间信号的离散时间处理以及离散时间信号的连续时间处理

Posted 2020-10-25 TaigaComplex求职中

连续时间信号与离散时间信号之间的关系

下表为各符号的解释

Symbol	FT	DTFT	Info
$x_c(t)$	$X_c(j\\Omega)$	-	连续时间信号
$x[n]$	-	$X(e^{j\\omega})$	离散时间信号
$s(t)$	$S(j\\Omega)$	-	周期脉冲函数、即采样函数
$x_s(t)$	$X_s(j\\Omega)$	-	信号周期采样的数学表示
$\\Omega_N$	-	-	奈奎斯特频率，也就是带限信号的受限频率
$\\Omega_s$	-	-	采样频率
$T$	-	-	采样周期
$h_r(t)$	$H_r(j\\Omega)$	-	连续时间低通滤波器
$h[n]$	-	$H(e^{j\\omega})$	离散时间单位脉冲响应
$h_c(t)$	$H_c(j\\Omega)$		连续时间单位脉冲响应

 

C/D转换

从$x_c(t)$到$x[n]$是一个连续到离散的过程，该过程包括以下步骤：

连续信号$x_c(t)$与采样信号$s(t)$相乘得到采样值加权的周期脉冲$x_s(t)$，最后再经过一步转换才能变成离散的采样序列$x[n]$，这就是一个数学上理想的连续到离散的转换，记为C/D。

 

D/C转换

那么反过来，从$x[n]$到$x_c(t)$就是一个离散到连续的过程，该过程包括以下步骤：

离散序列$x[n]$转换成周期为$T$的加权周期脉冲$x_s(t)$，然后就可以按照上一节课所描述的重构方法来得到原连续信号$x_c(t)$，这就是一个数学上理想的离散到连续的转换，记为$D/C$。

 

连续信号与离散信号的傅里叶变换之间的联系

离散时间序列$x[n]$与连续时间信号$x_c(t)$之间有如下关系

$x[n] = x_c(nT)\\ ,\\ -\\infty<n<\\infty$

对$x_s(t)$进行傅里叶变换可以得到

$\\displaystyle{ X_s(j\\Omega) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x_c(nT)e^{-j\\Omega T n} = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n]e^{-j\\Omega Tn} }$

对$x[n]$进行离散傅里叶变换可以得到

$\\displaystyle{ X(e^{j\\omega}) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n]e^{-j\\omega n} }$

对比发现

$\\displaystyle{ X_s(j\\Omega) = X(e^{j\\omega})|_{\\omega = \\Omega T} = X(e^{j\\Omega T})}$

$X(j\\Omega)$相当于$X(e^{j\\omega})$进行了一个$\\omega = \\Omega T$的尺度变换，这是因为$x[n]$的离散时间傅里叶变换的是假设以$1$为周期对信号进行采集的，而这里实际的采集周期为$T$。

 

另外我们上一课通过傅里叶卷积定理得到了一个公式

$\\begin{align*}
X_s(j\\Omega) &= \\frac{1}{T}X_c*Ш_{\\frac{2\\pi}{T}}\\\\
&= \\frac{1}{T}X_c(j\\Omega)*\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}\\delta\\left(\\Omega-\\frac{2\\pi k}{T}\\right)\\\\
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[j\\left( \\Omega-\\frac{2\\pi k}{T} \\right )\\right ]\\quad \\delta\\ convolution\\ theorem\\\\
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left( j\\left(  \\Omega-k\\Omega_s \\right) \\right) \\quad letting\\ \\Omega_s=\\frac{2\\pi}{T}
\\end{align*}$

结合上述结论，可以得到$x[n]$的DTFT为

$\\begin{align*}  X(e^{j\\omega})|_{\\omega=\\Omega T}
&= X(e^{j\\Omega T})\\\\
&= X(j\\Omega) \\\\
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left( j\\left(  \\Omega-k\\Omega_s \\right) \\right) \\\\
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{T}-\\frac{2\\pi k}{T} \\right )\\right ] \\qquad \\left\\{\\begin{matrix}\\Omega &= &\\frac{\\omega}{T}\\\\ \\Omega_s &= &\\frac{2\\pi}{T} \\end{matrix} \\right.\\\\
\\end{align*}$

也就是说，如果对连续函数$x_c(t)$进行周期为$T$的采样得到离散序列$x[n]$，那么它们的傅里叶变换之间就有以下关系

$\\color{red}{\\begin{align*} X(e^{j\\omega})
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\Omega-\\frac{2\\pi k}{T} \\right ) \\right ]\\\\
&= \\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[ j\\left(\\frac{\\omega}{T}-\\frac{2\\pi k}{T} \\right )\\right ] \\qquad \\omega=\\Omega T
\\end{align*}}$

 

 

连续时间信号的离散时间处理

在我们生活的世界当中，无论是声音、光、电等都是连续的信号，而计算机处理的是离散信号，因此一般来说我们都需要先把连续信号转换成离散信号，计算机对该离散信号进行处理后再重新转换为连续信号进行输出。

这里假设系统以及输入信号都满足奈奎斯特采样定理。接下来，我们主要讨论离散时间系统是如何对连续信号产生影响的。

频率响应

输出$y_r(t) = \\mathcal{F}^{-1}Y_{r}(j\\Omega)$，而通过对上图系统的逆推，我们可以得到以下式子

$\\begin{align*}
Y_r(j\\Omega)
&= H_r(j\\Omega)Y(e^{j\\omega}) \\qquad lowpass\\ filter\\ H_r(j\\Omega)\\ for\\ restruction\\\\
&= H_r(j\\Omega)H(e^{j\\omega})X(e^{j\\omega})\\qquad LTI\\ system\\ frequency\\ response\\ H(e^{j\\omega})\\\\
&= H_r(j\\Omega)H(e^{j\\Omega T})\\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}X_c\\left[j\\left(\\Omega-\\frac{2\\pi k}{T} \\right )\\right ] \\\\
&=\\left\\{ \\begin{matrix} H(e^{j\\Omega T})X_c(j\\Omega), & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.
\\qquad because\\ H_r(j\\Omega) = \\left\\{\\begin{matrix}T, & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0, & |\\Omega|\\geqslant \\pi/T \\end{matrix}\\right.\\\\
&= H_{eff}(j\\Omega)X_c(j\\Omega) \\qquad H_{eff}(j\\Omega) = \\left\\{ \\begin{matrix} H(e^{j\\Omega T}), & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.
\\end{align*}$

从该推导的式子可以得到以下结论

对于一个连续时间信号的离散时间处理系统，如果该系统满足两个因素：

• 离散时间系统的是LTI系统
• 输入信号为带限信号，并且采样率满足奈奎斯特采样定理

则该系统等效于一个连续时间LTI系统，其有效频率响应为

$\\color{red}{H_{eff}(j\\Omega) = \\left\\{ \\begin{matrix} H(e^{j\\Omega T}), & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.}$

 

单位脉冲响应

该等式可以说是指出了离散时间系统的频率响应$H(e^{j\\Omega T})$以及等效连续时间系统的频率响应$H_c(j\\Omega) = H_{eff}(j\\Omega)$之间的关系。那么它们的单位脉冲响应之间又具有怎样的关系呢？

这里假设连续时间单位脉冲响应$h_c(t)$与离散时间单位脉冲响应$h[n]$之间有如下关系

$h[n] = h_c(nT)$

那么有

\\begin{align*}
H_{eff}(j\\Omega) &= \\left\\{ \\begin{matrix} H(e^{j\\Omega T}), & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.\\\\
&= \\left\\{ \\begin{matrix} \\displaystyle{\\frac{1}{T}\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}H_{c}\\left[j\\left( \\Omega-\\frac{2\\pi k}{T} \\right)\\right]}, & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.\\qquad assume\\ h[n]=h_c(nT)\\\\
&= \\left\\{ \\begin{matrix} \\frac{H_c(j\\Omega)}{T}, & |\\Omega|<\\pi/T\\\\ 0,& |\\Omega|\\geqslant \\pi/T\\end{matrix}\\right.\\\\
\\end{align*}

因此我们如果稍作调整，假设

$h[n] = Th_c(nT)$

则能使得$H_{eff}(j\\Omega) = H_c(j\\Omega),|\\Omega|<\\pi/T$。

 

 

离散时间信号的连续时间处理

这种系统相对来说较为罕见，一般不会用这种方法来实现离散时间系统，不过它提供了对某些离散时间系统的一种有用解释，如下面的例子，非整数延迟系统。

这里假设系统以及输入信号都满足奈奎斯特采样定理。因此有

$x_c(t) = \\displaystyle{ \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}x[n]\\frac{sin[\\pi(t-nT)/T]}{\\pi(t-nT)/T} }$

$y_c(t) = \\displaystyle{ \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}y[n]\\frac{sin[\\pi(t-nT)/T]}{\\pi(t-nT)/T} }$

式中，$x[n] = x_c(nT),y[n] = y_c(nT)$。它们在频域有如下关系（第一小节的结论）

$X_c(j\\Omega) = TX(e^{j\\Omega T}),\\qquad |\\Omega|<\\pi/T$

$Y_c(j\\Omega) = H_c(j\\Omega)X_c(j\\Omega)$

$Y(e^{j\\omega}) = \\frac{1}{T}Y_c\\left( j\\frac{\\omega}{T} \\right),\\qquad |\\omega|<\\pi$

这三条式子整理后可以得到

$\\color{red}{H(e^{j\\omega}) = H_c(j\\frac{\\omega}{T}),\\qquad |\\omega|<\\pi}$

或者可以写成

$\\color{red}{H(e^{j\\Omega T}) = H_c(j\\Omega),\\qquad |\\Omega|<\\pi/T}$

 

例子

考虑一个离散时间系统，其频率响应为

$H(e^{j\\omega}) = e^{-j\\omega\\Delta}$

当$\\Delta$是一个整数时，该系统有一个明确的解释——延迟$\\Delta$，即

$y[n] = x[n-\\Delta]$

当$\\Delta$不是整数时，上面的式子没有正规意义，也无法通过对$x[n]$移位得到输出。此时我们可以用本节学习的内容来进行解释，把该离散时间系统等效为对$x[n]$进行D/C转换后，进行连续时间处理，然后进行C/D转换得到输出。其中的连续时间处理系统的频率响应为

$H_c(j\\Omega) = H(e^{j\\Omega T}) = e^{-j\\Omega T\\Delta}$

通过该频率响应可以求得，对于连续时间信号$x_c(t)$以及连续时间信号$y_c(t)$，他们具有如下关系

$y_c(t) = x_c(t-T\\Delta)$

其中$x_c(t)$是通过对$x[n]$进行内插得到的，在对$x_c(t)$进行$T\\Delta$的延迟后得到$y_c(t)$，然后进行周期为$T$的采样则得到$y[n]$，即

$\\begin{align*}
y[n] &=y_c(nT)\\\\
&= x_c(nT-T\\Delta)\\\\
&= \\left.\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}x[k]\\frac{sin[\\pi(t-T\\Delta-kT)/T]}{\\pi(t-T\\Delta-kT)/T}\\right|_{t=nT}\\\\
&= \\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}x[k]\\frac{sin\\pi(n-k-\\Delta)}{\\pi(n-k-\\Delta)}\\qquad
\\end{align*}$

按照卷积的定义，该离散时间系统的单位脉冲响应为

$h[n] = \\frac{sin\\pi(n-\\Delta)}{\\pi(n-\\Delta)}$