贴个教程: 四边形不等式学习笔记
\\(Description\\)
给出平面上的\\(n\\)个点，满足\\(X_i\\)严格单增，\\(Y_i\\)严格单减。以\\(x\\)轴和\\(y\\)轴正方向作边，使这\\(n\\)个点构成一棵树，最小化树边边的总长。
\\(Solution\\)
考虑有两棵构造好的树，要合并这两棵树，要从右边的树中找一个最优点连到左边的树上
不难想到区间DP(真的想不到==)
\\(f[i][j]\\)表示将\\([i,j]\\)合并为一棵树的最小代价，那么有 \\(f[i][j] = \\min\\{ f[i][k-1]+f[k][j]+cost(i,j,k) \\}\\)
\\(cost(i,j,k)=X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]\\) //ps: 当前左边树主干在 \\(Xi\\) 位置，且下部高度为 \\(Y_{k-1}\\)，合并后下部应为 \\(Yj\\)；另外肯定是拿右边树的最左上点合并啊
这个\\(cost\\)是三维的，证不了\\(cost\\)满足四边形不等式
那想下 决策应该是满足单调性的，即 \\(P[i][j-1]\\leq P[i][j]\\leq P[i+1][j]\\)
注意左端点应是\\(\\max(P[i][j-1],i+1)\\)
\\(f\\)应该满足四边形不等式，不会证。
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1005;
int n,X[N],Y[N],P[N][N],f[N][N];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c==\'-\') f=-1;
for(;isdigit(c);now=now*10+c-\'0\',c=gc());
return now*f;
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1; i<=n; ++i) X[i]=read(),Y[i]=read();
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1; i<=n; ++i) P[i][i]=i, f[i][i]=0;
for(int tmp,i=n-1; i; --i)
for(int j=i+1; j<=n; ++j)
for(int k=std::max(P[i][j-1],i+1); k<=P[i+1][j]; ++k)
if(f[i][j]>(tmp=f[i][k-1]+f[k][j]+X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]))
f[i][j]=tmp, P[i][j]=k;
printf("%d\\n",f[1][n]);
}
return 0;
}